Álgebra Exemplos

$x^{6} - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{6} - 2 x^{4}) - 4 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{4} (x^{2} - 2) - 4 (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x^{2} - 2$ .

$(x^{2} - 2) (x^{4} - 4) = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 4) = 0$

Etapa 1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 1.5

Fatore.

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Etapa 1.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 2$ .

$(x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) (x^{2} - 2)) = 0$

Etapa 1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} - 2) (x^{2} + 2) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 1.6

Combine expoentes.

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Etapa 1.6.1

Eleve $x^{2} - 2$ à potência de $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 1.6.2

Eleve $x^{2} - 2$ à potência de $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 1.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x^{2} - 2)}^{1 + 1} (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 1.6.4

Some $1$ e $1$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 3

Defina ${(x^{2} - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina ${(x^{2} - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva ${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 3.2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 3.2.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.2.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 3.2.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 3.2.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 4

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 4.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 4.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 4.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$