Álgebra Exemplos

$(\cot (θ) - \sqrt{3}) (2 \sin (θ) + \sqrt{3}) = 0$

Etapa 1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

$2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$

Etapa 2

Defina $\cot (θ) - \sqrt{3}$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 2.1

Defina $\cot (θ) - \sqrt{3}$ como igual a $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

Etapa 2.2

Resolva $\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$ para $θ$ .

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Etapa 2.2.1

Some $\sqrt{3}$ aos dois lados da equação.

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

Etapa 2.2.2

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da cotangente.

$θ = arccot (\sqrt{3})$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

O valor exato de $arccot (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Etapa 2.2.4

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = π + \frac{π}{6}$

Etapa 2.2.5

Simplifique $π + \frac{π}{6}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 2.2.5.2

Combine frações.

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Etapa 2.2.5.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 2.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Etapa 2.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.5.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Etapa 2.2.5.3.2

Some $6 π$ e $π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Etapa 2.2.6

Encontre o período de $\cot (θ)$ .

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Etapa 2.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.2.7

O período da função $\cot (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Defina $2 \sin (θ) + \sqrt{3}$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 3.1

Defina $2 \sin (θ) + \sqrt{3}$ como igual a $0$ .

$2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$ para $θ$ .

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Etapa 3.2.1

Subtraia $\sqrt{3}$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Etapa 3.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Etapa 3.2.6.2

O ângulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Etapa 3.2.7

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 3.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 3.2.8.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Etapa 3.2.8.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 3.2.8.3

Combine frações.

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Etapa 3.2.8.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 3.2.8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 3.2.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.8.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Etapa 3.2.8.4.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Etapa 3.2.8.5

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Etapa 3.2.9

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

A solução final são todos os valores que tornam $(\cot (θ) - \sqrt{3}) (2 \sin (θ) + \sqrt{3}) = 0$ verdadeiro.

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Consolide $\frac{π}{6} + π n$ e $\frac{7 π}{6} + π n$ em $\frac{π}{6} + π n$ .

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$