Álgebra Exemplos

$\log_{3} (5) + 2 \log_{3} (x) = \log_{3} (125)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{3} (5) + 2 \log_{3} (x) - \log_{3} (125) = 0$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5}{125}) = 0$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $5$ e $125$ .

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Etapa 3.1

Fatore $5$ de $5$ .

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5 (1)}{125}) = 0$

Etapa 3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1

Fatore $5$ de $125$ .

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 25}) = 0$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 25}) = 0$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{1}{25}) = 0$

Etapa 4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1

Simplifique $2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{1}{25})$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique $2 \log_{3} (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (x^{2}) + \log_{3} (\frac{1}{25}) = 0$

Etapa 4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x^{2} \frac{1}{25}) = 0$

Etapa 4.1.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{25}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{25}) = 0$

Etapa 5

Reescreva $\log_{3} (\frac{x^{2}}{25}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{x^{2}}{25}$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{x^{2}}{25} = 3^{0}$ .

$\frac{x^{2}}{25} = 3^{0}$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados da equação por $25$ .

$25 \frac{x^{2}}{25} = 25 \cdot 3^{0}$

Etapa 6.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum de $25$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$25 \frac{x^{2}}{25} = 25 \cdot 3^{0}$

Etapa 6.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 25 \cdot 3^{0}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique $25 \cdot 3^{0}$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{2} = 25 \cdot 1$

Etapa 6.3.2.1.2

Multiplique $25$ por $1$ .

$x^{2} = 25$

Etapa 6.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 6.5

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

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Etapa 6.5.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 6.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 6.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 6.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 6.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $\log_{3} (5) + 2 \log_{3} (x) = \log_{3} (125)$ verdadeira.

$x = 5$