Álgebra Exemplos

$\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3 x (2 x)) = 3$

Etapa 1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (3 \cdot (2 x \cdot x)) = 3$

Etapa 1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1

Mova $x$ .

$\ln (3 \cdot (2 (x \cdot x))) = 3$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (3 \cdot (2 x^{2})) = 3$

Etapa 1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\ln (6 x^{2}) = 3$

Etapa 2

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (6 x^{2})} = e^{3}$

Etapa 3

Reescreva $\ln (6 x^{2}) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = 6 x^{2}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $6 x^{2} = e^{3}$ .

$6 x^{2} = e^{3}$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $6 x^{2} = e^{3}$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $6 x^{2} = e^{3}$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{3}}{6}$

Etapa 4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$

Etapa 4.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ .

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Etapa 4.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ como $\frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.2.1

Fatore $e^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{2} e}}{\sqrt{6}}$

Etapa 4.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$

Etapa 4.4.3

Multiplique $\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Etapa 4.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.4.1

Multiplique $\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Etapa 4.4.4.2

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Etapa 4.4.4.3

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Etapa 4.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 4.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Etapa 4.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Etapa 4.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6}$

Etapa 4.4.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Etapa 4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Etapa 4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Etapa 4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}, - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$ verdadeira.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Forma decimal:

$x = 1.82964190 \dots$