Álgebra Exemplos

$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3} \leq 0$

Etapa 1

Simplifique $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}$ .

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} \leq 0$

Etapa 1.2

Para escrever $\frac{1}{x - 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 1) (x - 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{x - 3}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x + 1)} \leq 0$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x - 3) (x + 1)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 3 + x + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Some $x$ e $x$ .

$\frac{2 x - 3 + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Etapa 1.5.2

Some $- 3$ e $1$ .

$\frac{2 x - 2}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Etapa 1.5.3

Fatore $2$ de $2 x - 2$ .

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Etapa 1.5.3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Etapa 1.5.3.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Etapa 2

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 1$

$x = - 1$

$x = 3$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = 1, - 1, 3$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 1 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 8.3

Defina o denominador em $\frac{1}{x - 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 3 = 0$

Etapa 8.4

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 8.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{1}{(- 4) + 1} + \frac{1}{(- 4) - 3} \leq 0$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{476190}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{1}{(0) + 1} + \frac{1}{(0) - 3} \leq 0$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $0.\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{1}{(2) + 1} + \frac{1}{(2) - 3} \leq 0$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{6}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{1}{(6) + 1} + \frac{1}{(6) - 3} \leq 0$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $0.\overline{476190}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 1$ ou $1 \leq x < 3$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 1 or 1 \leq x < 3$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup [1, 3)$

Etapa 13