Álgebra Exemplos

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a - b}$

Etapa 1

Some $\frac{1}{b}$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$a, a - b, b$

Etapa 2.2

Como $a, a - b, b$ contém números e variáveis, há quatro etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC das partes numéricas, variáveis e variáveis compostas. Depois, multiplique tudo.

As etapas para encontrar o MMC de $a, a - b, b$ são:

1. Encontre o MMC da parte numérica $1, 1, 1$ .

2. Encontre o MMC da parte variável $a^{1}, b^{1}$ .

3. Encontre o MMC da parte variável composta $a - b$ .

4. Multiplique todos os MMCs juntos.

Etapa 2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.6

O fator de $a^{1}$ é o próprio $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $b^{1}$ é o próprio $b$ .

$b^{1} = b$

$b$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O MMC de $a^{1}, b^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$a \cdot b$

Etapa 2.9

Multiplique $a$ por $b$ .

$a b$

Etapa 2.10

O fator de $a - b$ é o próprio $a - b$ .

$(a - b) = a - b$

$(a - b)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.11

O MMC de $a - b$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$a - b$

Etapa 2.12

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$a b (a - b)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$ por $a b (a - b)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$ por $a b (a - b)$ .

$\frac{1}{a} (a b (a - b)) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $a$ de $a b (a - b)$ .

$\frac{1}{a} (a (b (a - b))) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{a} (a (b (a - b))) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$b (a - b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$b a + b (- b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$b a - b \cdot b = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Etapa 3.2.4

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Mova $b$ .

$b a - (b \cdot b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $a - b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Fatore $a - b$ de $a b (a - b)$ .

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} ((a - b) (a b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Etapa 3.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} ((a - b) (a b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Etapa 3.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum de $b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Fatore $b$ de $a b (a - b)$ .

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (b (a (a - b)))$

Etapa 3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (b (a (a - b)))$

Etapa 3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$b a - b^{2} = a b + a (a - b)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$b a - b^{2} = a b + a \cdot a + a (- b)$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $a$ por $a$ .

$b a - b^{2} = a b + a^{2} + a (- b)$

Etapa 3.3.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$b a - b^{2} = a b + a^{2} - a b$

Etapa 3.3.2

Combine os termos opostos em $a b + a^{2} - a b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Subtraia $a b$ de $a b$ .

$b a - b^{2} = a^{2} + 0$

Etapa 3.3.2.2

Some $a^{2}$ e $0$ .

$b a - b^{2} = a^{2}$

Etapa 4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia $a^{2}$ dos dois lados da equação.

$b a - b^{2} - a^{2} = 0$

Etapa 4.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.3

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = b$ e $c = - b^{2}$ na fórmula quadrática e resolva $a$ .

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1

Fatore $b^{2}$ de $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4.1.1.2

Fatore $b^{2}$ de $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4.1.1.3

Fatore $b^{2}$ de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4.1.5

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4.1.7

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 4.4.3

Simplifique $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.1

Fatore $b^{2}$ de $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.5.1.1.2

Fatore $b^{2}$ de $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.5.1.1.3

Fatore $b^{2}$ de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.5.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.5.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.5.1.5

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.5.1.7

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 4.5.3

Simplifique $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$a = \frac{b + b i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.5.5

Fatore $b$ de $b + b i \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.5.1

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$a = \frac{b + b i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.5.5.2

Fatore $b$ de $b^{1}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 + b i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.5.5.3

Fatore $b$ de $b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 + b (i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 4.5.5.4

Fatore $b$ de $b \cdot 1 + b (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Fatore $b^{2}$ de $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.6.1.1.2

Fatore $b^{2}$ de $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.6.1.1.3

Fatore $b^{2}$ de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.6.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.6.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.6.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.6.1.5

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.6.1.7

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 4.6.3

Simplifique $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$a = \frac{b - b i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.5.1

Fatore $b$ de $b - b i \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.5.1.1

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$a = \frac{b - b i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6.5.1.2

Fatore $b$ de $b^{1}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 - b i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6.5.1.3

Fatore $b$ de $- b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 + b (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 4.6.5.1.4

Fatore $b$ de $b \cdot 1 + b (- 1 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 4.6.5.2

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 4.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$