Álgebra Exemplos

$f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ como uma equação.

$y = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 12 \cdot 11^{3 y} + 13$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$ .

$12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $13$ dos dois lados da equação.

$12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ por $12$ .

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $11^{3 y}$ por $1$ .

$11^{3 y} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$11^{3 y} = \frac{x}{12} - \frac{13}{12}$

Etapa 3.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (11^{3 y}) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

Etapa 3.5

Expanda $\ln (11^{3 y})$ movendo $3 y$ para fora do logaritmo.

$3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

Etapa 3.6

Divida cada termo em $3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ por $3 \ln (11)$ e simplifique.

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Etapa 3.6.1

Divida cada termo em $3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ por $3 \ln (11)$ .

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Etapa 3.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Etapa 3.6.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (11)$ .

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Etapa 3.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Etapa 3.6.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ é o inverso de $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13}{12})}{3 \ln (11)}$

Etapa 5.2.3.2

Combine os termos opostos em $12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Subtraia $13$ de $13$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 0}{12})}{3 \ln (11)}$

Etapa 5.2.3.2.2

Some $12 \cdot 11^{3 x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

Etapa 5.2.3.3

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 5.2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

Etapa 5.2.3.3.2

Divida $11^{3 x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{3 \ln (11)}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $3 \ln (11)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (11^{3})}$

Etapa 5.2.5

Eleve $11$ à potência de $3$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (1331)}$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique $3 \ln (11)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (11^{3})})} + 13$

Etapa 5.3.3.3

Eleve $11$ à potência de $3$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)})} + 13$

Etapa 5.3.3.4

Multiplique $3 \frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ .

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Etapa 5.3.3.4.1

Combine $3$ e $\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{3 \ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}} + 13$

Etapa 5.3.3.4.2

Simplifique $3 \ln (\frac{x - 13}{12})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln ({(\frac{x - 13}{12})}^{3})}{\ln (1331)}} + 13$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 13}{12}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{12^{3}})}{\ln (1331)}} + 13$

Etapa 5.3.3.5.2

Eleve $12$ à potência de $3$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{1728})}{\ln (1331)}} + 13$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ é o inverso de $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$