Álgebra Exemplos

$x^{2} + 6 x + y^{2} - 2 y - 15 = 0$

Etapa 1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = x^{2} + 6 x - 15$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 6 x - 15))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Multiplique $6$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 15$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.5

Some $4$ e $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6

Reescreva $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.1.2

Fatore $4$ de $- 24 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.1.3

Fatore $4$ de $64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.1.4

Fatore $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.1.5

Fatore $4$ de $4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ e cuja soma é $b = - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.2.1.1

Fatore $- 6$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2.1.2

Reescreva $- 6$ como $2$ mais $- 8$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 8) x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 8 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.7

Reescreva $4 (- x + 2) (x + 8)$ como $2^{2} ((- x + 2) (x + 8))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.7.2

Adicione parênteses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Etapa 4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Multiplique $6$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 15$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Some $4$ e $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6

Reescreva $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.2

Fatore $4$ de $- 24 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.3

Fatore $4$ de $64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.4

Fatore $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.5

Fatore $4$ de $4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ e cuja soma é $b = - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.2.1.1

Fatore $- 6$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.1.2

Reescreva $- 6$ como $2$ mais $- 8$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 8) x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 8 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.7

Reescreva $4 (- x + 2) (x + 8)$ como $2^{2} ((- x + 2) (x + 8))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.7.2

Adicione parênteses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Etapa 4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = 1 + \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Etapa 5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 6 x - 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Multiplique $6$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 15$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 24 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5

Some $4$ e $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6

Reescreva $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2} - 24 x + 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 24 x + 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.1.2

Fatore $4$ de $- 24 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.1.3

Fatore $4$ de $64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.1.4

Fatore $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 6 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.1.5

Fatore $4$ de $4 (- x^{2} - 6 x) + 4 (16)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ e cuja soma é $b = - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.2.1.1

Fatore $- 6$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 6 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2.1.2

Reescreva $- 6$ como $2$ mais $- 8$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 8) x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 8 x + 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 8 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.7

Reescreva $4 (- x + 2) (x + 8)$ como $2^{2} ((- x + 2) (x + 8))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.7.2

Adicione parênteses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Etapa 5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = 1 - \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Etapa 6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 1 + \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

$y = 1 - \sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{(- x + 2) (x + 8)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(- x + 2) (x + 8) \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- x + 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 8.2

Defina $- x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Defina $- x + 2$ como igual a $0$ .

$- x + 2 = 0$

Etapa 8.2.2

Resolva $- x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 8.2.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 8.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 8.2.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 8.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 8.3

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Etapa 8.3.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 8.4

A solução final são todos os valores que tornam $(- x + 2) (x + 8) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 8$

Etapa 8.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 8$

$- 8 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 8.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 8.6.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$(- (- 10) + 2) ((- 10) + 8) \geq 0$

Etapa 8.6.1.3

O lado esquerdo $- 24$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 8.6.2

Teste um valor no intervalo $- 8 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 8 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(- (0) + 2) ((0) + 8) \geq 0$

Etapa 8.6.2.3

O lado esquerdo $16$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 8.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 8.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$(- (4) + 2) ((4) + 8) \geq 0$

Etapa 8.6.3.3

O lado esquerdo $- 24$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 8.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 8.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 8 \leq x \leq 2$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 8, 2]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 8 \leq x \leq 2}$

Etapa 10

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 4, 6]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - 4 \leq y \leq 6}$

Etapa 11

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[- 8, 2], {x | - 8 \leq x \leq 2}$

Intervalo: $[- 4, 6], {y | - 4 \leq y \leq 6}$

Etapa 12