Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{4} + x^{3} - 51 x^{2} - 9 x + 378$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$f (x) = x^{3} - 9 x + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Etapa 2

Fatore $x$ de $x^{3} - 9 x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$f (x) = x \cdot x^{2} - 9 x + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Etapa 2.2

Fatore $x$ de $- 9 x$ .

$f (x) = x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Etapa 2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$f (x) = x (x^{2} - 9) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Etapa 3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (x) = x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Etapa 4

Fatore.

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Etapa 4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$f (x) = x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Etapa 4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Etapa 5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 51 x^{2} + 378$

Etapa 6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 51 u + 378$

Etapa 7

Fatore $u^{2} - 51 u + 378$ usando o método AC.

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Etapa 7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $378$ e cuja soma é $- 51$ .

$- 42, - 9$

Etapa 7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + (u - 42) (u - 9)$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x^{2} - 9)$

Etapa 9

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x^{2} - 3^{2})$

Etapa 10

Fatore.

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Etapa 10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) ((x + 3) (x - 3))$

Etapa 10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$

Etapa 11

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$ .

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Etapa 11.1

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $x (x + 3) (x - 3)$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (x) + (x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$

Etapa 11.2

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $(x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 42)$

Etapa 11.3

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 42)$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (x + x^{2} - 42)$

Etapa 12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (u + u^{2} - 42)$

Etapa 13

Fatore $u + u^{2} - 42$ usando o método AC.

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Etapa 13.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 42$ e cuja soma é $1$ .

$- 6, 7$

Etapa 13.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = (x + 3) (x - 3) ((u - 6) (u + 7))$

Etapa 14

Fatore.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) ((x - 6) (x + 7))$

Etapa 14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (x - 6) (x + 7)$