Álgebra Exemplos

$\sqrt{2} \sin (\frac{3 π}{8}) \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1

O valor exato de $\sin (\frac{3 π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{3 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\sqrt{2} \sin (\frac{\frac{3 π}{4}}{2}) \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$\sqrt{2} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}) \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o seno é positivo no primeiro quadrante.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ .

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Etapa 1.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.4.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.4.7

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.4.7.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.4.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.4.8

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.4.9

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1.4.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 2

Multiplique $\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 2.1

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cos (\frac{3 π}{8})$

Etapa 3

O valor exato de $\cos (\frac{3 π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $\frac{3 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cos (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})$

Etapa 3.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}})$

Etapa 3.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ .

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Etapa 3.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Etapa 3.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 3.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 3.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 3.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 3.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Etapa 3.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 3.4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 3.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{(2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{(4 + 2 \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5

Expanda $(4 + 2 \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{4 (2 - \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 2 + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.6.1.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{8 + 4 (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 2 + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 2 + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.4

Multiplique $2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 4.6.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.6.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.6

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.2

Subtraia $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.3

Some $- 4 \sqrt{2}$ e $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.4

Some $4$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4}}{4}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{4}$

Etapa 5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2}{4}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Etapa 6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$