Álgebra Exemplos

$4 x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} + 1 = 0$

Etapa 1

Subtraia $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$4 u^{2} - 5 u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 u$ .

$4 u^{2} - 5 u + 1 = 0$

Etapa 3.1.2

Reescreva $- 5$ como $- 1$ mais $- 4$

$4 u^{2} + (- 1 - 4) u + 1 = 0$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 4 u + 1 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 4 u + 1 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - (4 u - 1) = 0$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 1) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 5

Defina $4 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.1

Defina $4 u - 1$ como igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $4 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 u = 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $4 u = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $4 u = 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Etapa 6

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(4 u - 1) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{4}, 1$

Etapa 8

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 9

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Etapa 10

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 10.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 10.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 10.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 10.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 10.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 10.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 10.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 10.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 10.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 11

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 12

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 1$

Etapa 12.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 12.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 12.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 12.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 12.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 12.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 13

A solução para $4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$ é $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$

Forma decimal:

$x = 0.5, - 0.5, 1, - 1$