Álgebra Exemplos

$y + \frac{y^{2} - 5}{y^{2} - 1} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y + \frac{y^{2} - 5}{y^{2} - 1^{2}} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, (y + 1) (y - 1), y + 1$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $y + 1$ é o próprio $y + 1$ .

$(y + 1) = y + 1$

$(y + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $y - 1$ é o próprio $y - 1$ .

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $y + 1$ é o próprio $y + 1$ .

$(y + 1) = y + 1$

$(y + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O MMC de $y + 1, y - 1, y + 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(y + 1) (y - 1)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$ por $(y + 1) (y - 1)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$ por $(y + 1) (y - 1)$ .

$y ((y + 1) (y - 1)) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Expanda $(y + 1) (y - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (y (y - 1) + 1 (y - 1)) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.2.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$y (y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$y (y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.2.1.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$y (y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.2.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$y (y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y (y^{2} - y + y - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.2.2

Some $- y$ e $y$ .

$y (y^{2} + 0 - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.2.3

Some $y^{2}$ e $0$ .

$y (y^{2} - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y \cdot y^{2} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.4.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.4.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{1} y^{2} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{1 + 2} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.4.2

Some $1$ e $2$ .

$y^{3} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$y^{3} - 1 \cdot y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.6

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$y^{3} - y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.7

Cancele o fator comum de $(y + 1) (y - 1)$ .

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Etapa 3.2.1.7.1

Cancele o fator comum.

$y^{3} - y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.2.1.7.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = (y^{2} + y + 2) (y - 1)$

Etapa 3.3.2

Expanda $(y^{2} + y + 2) (y - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Etapa 3.3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.1.1

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 3.3.3.1.1.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Etapa 3.3.3.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Etapa 3.3.3.1.1.2

Some $2$ e $1$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Etapa 3.3.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - 1 \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Etapa 3.3.3.1.3

Reescreva $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Etapa 3.3.3.1.4

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Etapa 3.3.3.1.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} - 1 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 1$

Etapa 3.3.3.1.6

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} - y + 2 y + 2 \cdot - 1$

Etapa 3.3.3.1.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} - y + 2 y - 2$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.3.3.2.1

Combine os termos opostos em $y^{3} - y^{2} + y^{2} - y + 2 y - 2$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Some $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} + 0 - y + 2 y - 2$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Some $y^{3}$ e $0$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y + 2 y - 2$

Etapa 3.3.3.2.2

Some $- y$ e $2 y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} + y - 2$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $y^{3}$ dos dois lados da equação.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 - y^{3} = y - 2$

Etapa 4.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 - y^{3} - y = - 2$

Etapa 4.1.3

Combine os termos opostos em $y^{3} - y + y^{2} - 5 - y^{3} - y$ .

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Etapa 4.1.3.1

Subtraia $y^{3}$ de $y^{3}$ .

$- y + y^{2} - 5 + 0 - y = - 2$

Etapa 4.1.3.2

Some $- y + y^{2} - 5$ e $0$ .

$- y + y^{2} - 5 - y = - 2$

Etapa 4.1.4

Subtraia $y$ de $- y$ .

$- 2 y + y^{2} - 5 = - 2$

Etapa 4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- 2 y + y^{2} - 5 + 2 = 0$

Etapa 4.3

Some $- 5$ e $2$ .

$- 2 y + y^{2} - 3 = 0$

Etapa 4.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.4.1

Deixe $u = y$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y$ .

$- 2 u + u^{2} - 3 = 0$

Etapa 4.4.2

Fatore $- 2 u + u^{2} - 3$ usando o método AC.

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Etapa 4.4.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 4.4.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Etapa 4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$(y - 3) (y + 1) = 0$

Etapa 4.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

Etapa 4.6

Defina $y - 3$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $y - 3$ como igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

Etapa 4.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = 3$

Etapa 4.7

Defina $y + 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 4.7.1

Defina $y + 1$ como igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Etapa 4.7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - 1$

Etapa 4.8

A solução final são todos os valores que tornam $(y - 3) (y + 1) = 0$ verdadeiro.

$y = 3, - 1$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $y + \frac{y^{2} - 5}{y^{2} - 1} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$ verdadeira.

$y = 3$