Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} < x$

Etapa 1

Subtraia $x$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.2

Combine $- x$ e $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} + \frac{- x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.4.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.4.4

Subtraia $x$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 3 - x^{3}}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.4.5

Reordene os termos.

$\frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.4.6

Reescreva $- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.4.6.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.4.6.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{3} + x^{2}) + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.4.6.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x^{2} (- x + 1) - 3 (- x + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.4.6.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.6

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.8

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 9

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 10

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 11

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 11.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 11.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 12

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = i, - i$

Etapa 13

Consolide as soluções.

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 14

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < 1$

$1 < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Etapa 15

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 15.1

Teste um valor no intervalo $x < - \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 15.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 3}{{(- 4)}^{2} + 1} < - 4$

Etapa 15.1.3

O lado esquerdo $- 0.17647058$ não é menor do que o lado direito $- 4$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 15.2

Teste um valor no intervalo $- \sqrt{3} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \sqrt{3} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 15.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} + 4 (0) - 3}{{(0)}^{2} + 1} < 0$

Etapa 15.2.3

O lado esquerdo $- 3$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 15.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.37$

Etapa 15.3.2

Substitua $x$ por $1.37$ na desigualdade original.

$\frac{{(1.37)}^{2} + 4 (1.37) - 3}{{(1.37)}^{2} + 1} < 1.37$

Etapa 15.3.3

O lado esquerdo $1.51444262$ não é menor do que o lado direito $1.37$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 15.4

Teste um valor no intervalo $x > \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 15.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 (4) - 3}{{(4)}^{2} + 1} < 4$

Etapa 15.4.3

O lado esquerdo $1.70588235$ é menor do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 15.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \sqrt{3}$ Falso

$- \sqrt{3} < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < \sqrt{3}$ Falso

$x > \sqrt{3}$ Verdadeiro

$x < - \sqrt{3}$ Falso

$- \sqrt{3} < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < \sqrt{3}$ Falso

$x > \sqrt{3}$ Verdadeiro

Etapa 16

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \sqrt{3} < x < 1$ ou $x > \sqrt{3}$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- \sqrt{3} < x < 1 or x > \sqrt{3}$

Notação de intervalo:

$(- \sqrt{3}, 1) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Etapa 18