Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} + 15 x + 50}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \div \frac{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}{25 - x^{2}}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{x^{2} + 15 x + 50}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + 15 x + 50$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $50$ e cuja soma é $15$ .

$5, 10$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 3

Fatore $x$ de $- x^{2} - 10 x$ .

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x) - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 3.2

Fatore $x$ de $- 10 x$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x) + x \cdot - 10} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 3.3

Fatore $x$ de $x (- x) + x \cdot - 10$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 4

Fatore $x^{2} + 10 x + 16$ usando o método AC.

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Etapa 4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $16$ e cuja soma é $10$ .

$2, 8$

Etapa 4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 5

Fatore $x^{2} + 7 x + 10$ usando o método AC.

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Etapa 5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $7$ .

$2, 5$

Etapa 5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 2) (x + 5)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $x + 5$ de $(x + 2) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 5) (x + 2)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 6.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 5) (x + 2)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 6.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 10}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x + 2} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{x + 10}{x (- x - 10)}$ por $\frac{(x + 2) (x + 8)}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 10) ((x + 2) (x + 8))}{x (- x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 10) ((x + 2) (x + 8))}{x (- x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 6.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $x + 10$ e $- x - 10$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $- 1$ de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) + 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 6.4.2

Reescreva $10$ como $- 1 (- 10)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 10)) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 6.4.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- 1 (- x - 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 6.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (- x - 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 6.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (x + 8)}{x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 6.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{5^{2} - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 7.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = x$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 8

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1

Fatore $x$ de $x^{3} + 13 x^{2} + 40 x$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + 13 x^{2} + 40 x}$

Etapa 8.1.2

Fatore $x$ de $13 x^{2}$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + x (13 x) + 40 x}$

Etapa 8.1.3

Fatore $x$ de $40 x$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + x (13 x) + x \cdot 40}$

Etapa 8.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (13 x)$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x^{2} + 13 x) + x \cdot 40}$

Etapa 8.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} + 13 x) + x \cdot 40$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x^{2} + 13 x + 40)}$

Etapa 8.2

Fatore $x^{2} + 13 x + 40$ usando o método AC.

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Etapa 8.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $40$ e cuja soma é $13$ .

$5, 8$

Etapa 8.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x ((x + 5) (x + 8))}$

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Etapa 9

Simplifique os termos.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $x + 8$ .

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Etapa 9.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x + 8}{x}$ para o numerador.

$\frac{- (x + 8)}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Etapa 9.1.2

Fatore $x + 8$ de $- (x + 8)$ .

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Etapa 9.1.3

Fatore $x + 8$ de $x (x + 5) (x + 8)$ .

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 8) (x (x + 5))}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 8) (x (x + 5))}$

Etapa 9.1.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5)}$

Etapa 9.2

Multiplique $\frac{- 1}{x}$ por $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5)}$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x (x (x + 5))}$

Etapa 10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1} x (x + 5)}$

Etapa 11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1} x^{1} (x + 5)}$

Etapa 12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1 + 1} (x + 5)}$

Etapa 13

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $5 + x$ e $x + 5$ .

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Etapa 14.1

Reordene os termos.

$\frac{- ((x + 5) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- ((x + 5) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- (5 - x)}{x^{2}}$

Etapa 15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 - x}{x^{2}}$