Álgebra Exemplos

$\tan (2 θ) + \tan (θ) = 0$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a fórmula do arco duplo da tangente.

$\frac{2 \tan (θ)}{1 - \tan^{2} (θ)} + \tan (θ) = 0$

Etapa 1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{1^{2} - \tan^{2} (θ)} + \tan (θ) = 0$

Etapa 1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \tan (θ)$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

Etapa 2

Fatore $\tan (θ)$ de $\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $\tan (θ)$ de $\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))}$ .

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

Etapa 2.2

Eleve $\tan (θ)$ à potência de $1$ .

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

Etapa 2.3

Fatore $\tan (θ)$ de $\tan^{1} (θ)$ .

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) \cdot 1 = 0$

Etapa 2.4

Fatore $\tan (θ)$ de $\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) \cdot 1$ .

$\tan (θ) (\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$

Etapa 4

Defina $\tan (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $\tan (θ)$ como igual a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\tan (θ) = 0$ para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 4.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = π + 0$

Etapa 4.2.4

Some $π$ e $0$ .

$θ = π$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.6

O período da função $\tan (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 5.1

Defina $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1$ como igual a $0$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 5.2.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)), 1, 1$

Etapa 5.2.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$

Etapa 5.2.2

Multiplique cada termo em $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ por $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ por $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Multiplique $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ por $1$ .

$2 + (1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.3

Expanda $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 + 1 (1 - \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.4.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$2 + 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.4.1.2

Multiplique $- \tan (θ)$ por $1$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.4.1.3

Multiplique $\tan (θ)$ por $1$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.4.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan (θ) \tan (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.4.1.5

Multiplique $\tan (θ)$ por $\tan (θ)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.4.1.5.1

Mova $\tan (θ)$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - (\tan (θ) \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.4.1.5.2

Multiplique $\tan (θ)$ por $\tan (θ)$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.4.2

Some $- \tan (θ)$ e $\tan (θ)$ .

$2 + 1 + 0 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.1.4.3

Some $1$ e $0$ .

$2 + 1 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.2.2

Some $2$ e $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1

Expanda $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 (1 - \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.3.2.1.2

Multiplique $- \tan (θ)$ por $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.3.2.1.3

Multiplique $\tan (θ)$ por $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.3.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan (θ) \tan (θ))$

Etapa 5.2.2.3.2.1.5

Multiplique $\tan (θ)$ por $\tan (θ)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.2.1.5.1

Mova $\tan (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - (\tan (θ) \tan (θ)))$

Etapa 5.2.2.3.2.1.5.2

Multiplique $\tan (θ)$ por $\tan (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan^{2} (θ))$

Etapa 5.2.2.3.2.2

Some $- \tan (θ)$ e $\tan (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (θ))$

Etapa 5.2.2.3.2.3

Some $1$ e $0$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan^{2} (θ))$

Etapa 5.2.2.3.3

Multiplique $0$ por $1 - \tan^{2} (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0$

Etapa 5.2.3

Resolva a equação.

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Etapa 5.2.3.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- \tan^{2} (θ) = - 3$

Etapa 5.2.3.2

Divida cada termo em $- \tan^{2} (θ) = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Divida cada termo em $- \tan^{2} (θ) = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (θ)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan^{2} (θ)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.2.3.2.2.2

Divida $\tan^{2} (θ)$ por $1$ .

$\tan^{2} (θ) = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$\tan^{2} (θ) = 3$

Etapa 5.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Etapa 5.2.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Etapa 5.2.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Etapa 5.2.3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 5.2.4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Etapa 5.2.5

Resolva $θ$ em $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 5.2.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.2.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.5.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = π + \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.5.4

Simplifique $π + \frac{π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.5.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.5.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 5.2.5.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 5.2.5.4.3.2

Some $3 π$ e $π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Etapa 5.2.5.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.2.5.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.2.5.6

O período da função $\tan (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.6

Resolva $θ$ em $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Etapa 5.2.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.2.1

O valor exato de $\arctan (- \sqrt{3})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.6.3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = - \frac{π}{3} - π$

Etapa 5.2.6.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.4.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$θ = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Etapa 5.2.6.4.2

O ângulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{3} - π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5.2.6.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.2.6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.2.6.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.2.6.6

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.6.1

Some $π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Etapa 5.2.6.6.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.6.6.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.6.3.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.2.6.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.2.6.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.6.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 5.2.6.6.4.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 5.2.6.6.5

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5.2.6.7

O período da função $\tan (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.7

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.8

Consolide as soluções.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Consolide $\frac{π}{3} + π n$ e $\frac{4 π}{3} + π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.8.2

Consolide $\frac{2 π}{3} + π n$ e $\frac{2 π}{3} + π n$ em $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $\tan (θ) (\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1) = 0$ verdadeiro.

$θ = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide as respostas.

$θ = \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$