Álgebra Exemplos

$A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $300 x e^{- 2.5 x}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} 300 x e^{- 2.5 x}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Mova o termo $300$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$300 lim_{x \to \infty} x e^{- 2.5 x}$

Etapa 3.2

Reescreva $x e^{- 2.5 x}$ como $\frac{x}{e^{2.5 x}}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}}$

Etapa 3.3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$300 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

Etapa 3.3.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$300 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

Etapa 3.3.1.3

Como o expoente $2.5 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{2.5 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$300 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$300 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Etapa 3.3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Etapa 3.3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2.5 x$ .

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Etapa 3.3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2.5 x$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Etapa 3.3.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Etapa 3.3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2.5 x$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Etapa 3.3.3.4

Como $2.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2.5 x$ em relação a $x$ é $2.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \cdot 1}$

Etapa 3.3.3.6

Multiplique $2.5$ por $1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5}$

Etapa 3.3.3.7

Mova $2.5$ para a esquerda de $e^{2.5 x}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5 e^{2.5 x}}$

Etapa 3.3.4

Reescreva $1$ como $1 (1)$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 e^{2.5 x}}$

Etapa 3.3.5

Fatore $2.5$ de $2.5 e^{2.5 x}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 (e^{2.5 x})}$

Etapa 3.3.6

Separe as frações.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5} \cdot \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Etapa 3.3.7

Divida $1$ por $2.5$ .

$300 lim_{x \to \infty} 0.4 \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Etapa 3.3.8

Combine $0.4$ e $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{0.4}{e^{2.5 x}}$

Etapa 3.4

Mova o termo $0.4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$300 \cdot 0.4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Etapa 3.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ se aproxima de $0$ .

$300 \cdot 0.4 \cdot 0$

Etapa 3.6

Multiplique por zero.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $0.4$ por $0$ .

$300 \cdot 0$

Etapa 3.6.2

Multiplique $300$ por $0$ .

$0$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 0$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7