Álgebra Exemplos

$\sqrt{648} = \sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$ .

$\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$

Etapa 2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}) = \ln (\sqrt{648})$

Etapa 3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$ como ${(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (\sqrt{648})$

Etapa 3.2

Expanda $\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}})$ movendo $\frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (2^{a} \cdot 3^{b}) = \ln (\sqrt{648})$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (2^{a} \cdot 3^{b})$ como $\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

Etapa 3.4

Expanda $\ln (2^{a})$ movendo $a$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

Etapa 3.5

Expanda $\ln (3^{b})$ movendo $b$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Etapa 4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1

Simplifique $\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3))$ .

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (a \ln (2)) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Etapa 4.1.2

Multiplique $\frac{1}{2} (a \ln (2))$ .

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Etapa 4.1.2.1

Combine $a$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a}{2} \ln (2) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Etapa 4.1.2.2

Combine $\frac{a}{2}$ e $\ln (2)$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Etapa 4.1.3

Multiplique $\frac{1}{2} (b \ln (3))$ .

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Etapa 4.1.3.1

Combine $b$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b}{2} \ln (3) = \ln (\sqrt{648})$

Etapa 4.1.3.2

Combine $\frac{b}{2}$ e $\ln (3)$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{648})$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Simplifique $\ln (\sqrt{648})$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva $648$ como $18^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $324$ de $648$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{324 (2)})$

Etapa 5.1.1.2

Reescreva $324$ como $18^{2}$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{18^{2} \cdot 2})$

Etapa 5.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$

Etapa 6

Multiplique cada termo em $\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ por $2$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.1

Multiplique cada termo em $\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ por $2$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Etapa 6.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Etapa 6.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Etapa 6.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$a \ln (2) + b \ln (3) = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (18 \sqrt{2})$ .

$a \ln (2) + b \ln (3) = 2 \ln (18 \sqrt{2})$

Etapa 7

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$a \ln (2) + b \ln (3) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = 0$

Etapa 8

Mova todos os termos que não contêm $a$ para o lado direito da equação.

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Etapa 8.1

Subtraia $b \ln (3)$ dos dois lados da equação.

$a \ln (2) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = - b \ln (3)$

Etapa 8.2

Some $2 \ln (18 \sqrt{2})$ aos dois lados da equação.

$a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$

Etapa 9

Divida cada termo em $a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ por $\ln (2)$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = - \frac{b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$