Álgebra Exemplos

$\frac{1}{y - 2} + \frac{2}{y + 1} - \frac{y + 2}{y^{2} - y - 2}$

Etapa 1

Fatore $y^{2} - y - 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{1}{y - 2} + \frac{2}{y + 1} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{1}{y - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{2}{y + 1} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{2}{y + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{2}{y + 1} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(y - 2) (y + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{y - 2}$ por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{2}{y + 1} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{2}{y + 1}$ por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{y + 1}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{2 (y - 2)}{(y + 1) (y - 2)} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(y - 2) (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{(y + 1) (y - 2)} + \frac{2 (y - 2)}{(y + 1) (y - 2)} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y + 1 + 2 (y - 2)}{(y + 1) (y - 2)} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Etapa 5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y + 1 + 2 (y - 2) - (y + 2)}{(y + 1) (y - 2)}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y + 1 + 2 y + 2 \cdot - 2 - (y + 2)}{(y + 1) (y - 2)}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{y + 1 + 2 y - 4 - (y + 2)}{(y + 1) (y - 2)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y + 1 + 2 y - 4 - y - 1 \cdot 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Etapa 6.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y + 1 + 2 y - 4 - y - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Etapa 7

Simplifique somando os termos.

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Etapa 7.1

Combine os termos opostos em $y + 1 + 2 y - 4 - y - 2$ .

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Etapa 7.1.1

Subtraia $y$ de $y$ .

$\frac{1 + 2 y - 4 + 0 - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Etapa 7.1.2

Some $1 + 2 y - 4$ e $0$ .

$\frac{1 + 2 y - 4 - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Etapa 7.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 7.2.1

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{2 y - 3 - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Etapa 7.2.2

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$\frac{2 y - 5}{(y + 1) (y - 2)}$