Álgebra Exemplos

$2 x^{2} + 5 x \leq 2 x + 5$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da desigualdade.

$2 x^{2} + 5 x - 2 x \leq 5$

Etapa 1.2

Subtraia $2 x$ de $5 x$ .

$2 x^{2} + 3 x \leq 5$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} + 3 x = 5$

Etapa 3

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Etapa 4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$2 x^{2} + 3 (x) - 5 = 0$

Etapa 4.1.2

Reescreva $3$ como $- 2$ mais $5$

$2 x^{2} + (- 2 + 5) x - 5 = 0$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5 = 0$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} - 2 x) + 5 x - 5 = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Etapa 4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x + 5) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Etapa 6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $2 x + 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 5$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (2 x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - \frac{5}{2}$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < 1$

$x > 1$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 5$ na desigualdade original.

$2 {(- 5)}^{2} + 5 (- 5) \leq 2 (- 5) + 5$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $25$ é maior do que o lado direito $- 5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{5}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{5}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{2} + 5 (0) \leq 2 (0) + 5$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$2 {(4)}^{2} + 5 (4) \leq 2 (4) + 5$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $52$ é maior do que o lado direito $13$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{5}{2}$ Falso

$- \frac{5}{2} < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - \frac{5}{2}$ Falso

$- \frac{5}{2} < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{5}{2} \leq x \leq 1$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- \frac{5}{2} \leq x \leq 1$

Notação de intervalo:

$[- \frac{5}{2}, 1]$

Etapa 13