Álgebra Exemplos

$2^{x} \cdot 3^{x + 1} = 15$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x} \cdot 3^{x + 1}) = \ln (15)$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Reescreva $\ln (2^{x} \cdot 3^{x + 1})$ como $\ln (2^{x}) + \ln (3^{x + 1})$ .

$\ln (2^{x}) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (15)$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (2^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (15)$

Etapa 2.3

Expanda $\ln (3^{x + 1})$ movendo $x + 1$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (15)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (15)$

Etapa 3.1.2

Multiplique $\ln (3)$ por $1$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) = \ln (15)$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) - \ln (15) = 0$

Etapa 5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3}{15}) = 0$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $3$ e $15$ .

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Etapa 6.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{15}) = 0$

Etapa 6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}) = 0$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}) = 0$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Etapa 7

Subtraia $\ln (\frac{1}{5})$ dos dois lados da equação.

$x \ln (2) + x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{5})$

Etapa 8

Fatore $x$ de $x \ln (2) + x \ln (3)$ .

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Etapa 8.1

Fatore $x$ de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{5})$

Etapa 8.2

Fatore $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$

Etapa 8.3

Fatore $x$ de $x (\ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$

Etapa 9

Divida cada termo em $x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$ por $\ln (2) + \ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$ por $\ln (2) + \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3))}{\ln (2) + \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2) + \ln (3)$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3))}{\ln (2) + \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 0.89824440 \dots$