Álgebra Exemplos

$y^{4} = 2 - y^{2}$

Etapa 1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$y^{4} + y^{2} = 2$

Etapa 2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y^{4} + y^{2} - 2 = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Reescreva $y^{4}$ como ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + y^{2} - 2 = 0$

Etapa 3.2

Deixe $u = y^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y^{2}$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $u^{2} + u - 2$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 3.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$(y^{2} - 1) (y^{2} + 2) = 0$

Etapa 3.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 2) = 0$

Etapa 3.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$(y + 1) (y - 1) (y^{2} + 2) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

$y - 1 = 0$

$y^{2} + 2 = 0$

Etapa 5

Defina $y + 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 5.1

Defina $y + 1$ como igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - 1$

Etapa 6

Defina $y - 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 6.1

Defina $y - 1$ como igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

Etapa 6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 1$

Etapa 7

Defina $y^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 7.1

Defina $y^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$y^{2} + 2 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $y^{2} + 2 = 0$ para $y$ .

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Etapa 7.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y^{2} = - 2$

Etapa 7.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 7.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 7.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 7.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 7.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = i \sqrt{2}$

Etapa 7.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - i \sqrt{2}$

Etapa 7.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(y + 1) (y - 1) (y^{2} + 2) = 0$ verdadeiro.

$y = - 1, 1, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$