Álgebra Exemplos

$\csc^{2} (θ) - 2 = 0$

Etapa 1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\csc^{2} (θ) = 2$

Etapa 2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{2}$

Etapa 3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

Etapa 3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Etapa 3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\csc (θ) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Etapa 5

Resolva $θ$ em $\csc (θ) = \sqrt{2}$ .

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Etapa 5.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da cossecante.

$θ = arccsc (\sqrt{2})$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

O valor exato de $arccsc (\sqrt{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 5.3

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Etapa 5.4

Simplifique $π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 5.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 5.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.5

Encontre o período de $\csc (θ)$ .

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Etapa 5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.6

O período da função $\csc (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Resolva $θ$ em $\csc (θ) = - \sqrt{2}$ .

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Etapa 6.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da cossecante.

$θ = arccsc (- \sqrt{2})$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $arccsc (- \sqrt{2})$ é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 6.3

A função do cosseno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Etapa 6.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Etapa 6.4.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\csc (θ)$ .

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Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 6.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Etapa 6.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.6.3

Combine frações.

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Etapa 6.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 6.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.6.4.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Etapa 6.6.4.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Etapa 6.6.5

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{7 π}{4}$

Etapa 6.7

O período da função $\csc (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$