Álgebra Exemplos

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 (t^{2} - 16) = - 6$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 t^{2} + 19 \cdot - 16 = - 6$

Etapa 1.2

Multiplique $19$ por $- 16$ .

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 t^{2} - 304 = - 6$

Etapa 2

Substitua $u = t^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$3 u^{2} - 77 u + 464 = - 6$

$u = t^{2}$

Etapa 3

Some $6$ aos dois lados da equação.

$3 u^{2} - 77 u + 464 + 6 = 0$

Etapa 4

Some $464$ e $6$ .

$3 u^{2} - 77 u + 470 = 0$

Etapa 5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 470 = 1410$ e cuja soma é $b = - 77$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Fatore $- 77$ de $- 77 u$ .

$3 u^{2} - 77 u + 470 = 0$

Etapa 5.1.2

Reescreva $- 77$ como $- 30$ mais $- 47$

$3 u^{2} + (- 30 - 47) u + 470 = 0$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 u^{2} - 30 u - 47 u + 470 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 u^{2} - 30 u) - 47 u + 470 = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 u (u - 10) - 47 (u - 10) = 0$

Etapa 5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $u - 10$ .

$(u - 10) (3 u - 47) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 10 = 0$

$3 u - 47 = 0$

Etapa 7

Defina $u - 10$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina $u - 10$ como igual a $0$ .

$u - 10 = 0$

Etapa 7.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$u = 10$

Etapa 8

Defina $3 u - 47$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Defina $3 u - 47$ como igual a $0$ .

$3 u - 47 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $3 u - 47 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Some $47$ aos dois lados da equação.

$3 u = 47$

Etapa 8.2.2

Divida cada termo em $3 u = 47$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Divida cada termo em $3 u = 47$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{47}{3}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 u}{3} = \frac{47}{3}$

Etapa 8.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{47}{3}$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 10) (3 u - 47) = 0$ verdadeiro.

$u = 10, \frac{47}{3}$

Etapa 10

Substitua o valor real de $u = t^{2}$ de volta na equação resolvida.

$t^{2} = 10$

${(t^{2})}^{1} = \frac{47}{3}$

Etapa 11

Resolva a primeira equação para $t$ .

$t^{2} = 10$

Etapa 12

Resolva a equação para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$t = \pm \sqrt{10}$

Etapa 12.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = \sqrt{10}$

Etapa 12.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - \sqrt{10}$

Etapa 12.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}$

Etapa 13

Resolva a segunda equação para $t$ .

${(t^{2})}^{1} = \frac{47}{3}$

Etapa 14

Resolva a equação para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Remova os parênteses.

$t^{2} = \frac{47}{3}$

Etapa 14.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$t = \pm \sqrt{\frac{47}{3}}$

Etapa 14.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{47}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Reescreva $\sqrt{\frac{47}{3}}$ como $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$

Etapa 14.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 14.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 14.3.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 14.3.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 14.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 14.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 14.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 14.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 14.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 14.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 14.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 14.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 14.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$t = \pm \frac{\sqrt{47 \cdot 3}}{3}$

Etapa 14.3.4.2

Multiplique $47$ por $3$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{141}}{3}$

Etapa 14.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = \frac{\sqrt{141}}{3}$

Etapa 14.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Etapa 14.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Etapa 15

A solução para $3 t^{4} - 77 t^{2} + 464 = - 6$ é $t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$ .

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Forma decimal:

$t = 3.16227766 \dots, - 3.16227766 \dots, 3.95811402 \dots, - 3.95811402 \dots$