Álgebra Exemplos

$\cos (22.5 °)$

Etapa 1

Reescreva $22.5 °$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos (\frac{45}{2})$

Etapa 2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Etapa 3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Etapa 4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 5

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Etapa 5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 5.4

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.4.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Etapa 5.5

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 5.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Forma decimal:

$0.92387953 \dots$