Álgebra Exemplos

$f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ como uma equação.

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = y + 2 \sqrt{y - 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $y + 2 \sqrt{y - 1} = x$ .

$y + 2 \sqrt{y - 1} = x$

Etapa 3.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$2 \sqrt{y - 1} = x - y$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y - 1}$ como ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(y - 1)}^{1} = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.4

Simplifique.

$4 (y - 1) = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 4 \cdot - 1 = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 y - 4 = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(x - y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Reescreva ${(x - y)}^{2}$ como $(x - y) (x - y)$ .

$4 y - 4 = (x - y) (x - y)$

Etapa 3.4.3.1.2

Expanda $(x - y) (x - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y - 4 = x (x - y) - y (x - y)$

Etapa 3.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Etapa 3.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Etapa 3.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 y - 4 = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Etapa 3.4.3.1.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Etapa 3.4.3.1.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Etapa 3.4.3.1.3.1.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1.4.1

Mova $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Etapa 3.4.3.1.3.1.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Etapa 3.4.3.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Etapa 3.4.3.1.3.1.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Etapa 3.4.3.1.3.2

Subtraia $y x$ de $- x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.2.1

Mova $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Etapa 3.4.3.1.3.2.2

Subtraia $x y$ de $- x y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 y - 4$

Etapa 3.5.2

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y = - 4$

Etapa 3.5.3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y + 4 = 0$

Etapa 3.5.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2 x - 4$ e $c = x^{2} + 4$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 4) \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5

Deixe $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1.5.1

Reescreva ${(- 2 x - 4)}^{2}$ como $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5.2

Expanda $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1.5.3.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5.3.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5.3.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5.3.2

Some $8 x$ e $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1.6.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6.2

Fatore $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6.3

Fatore $4$ de $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6.4

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6.5

Fatore $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6.6

Fatore $4$ de $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6.7

Fatore $4$ de $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1.8.1.1

Multiplique $x^{2} + 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.8.2

Combine os termos opostos em $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1.8.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.8.2.2

Some $4 x + 4$ e $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.8.2.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.8.2.4

Some $4 x$ e $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.9

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.10

Reescreva $16 x$ como ${(2^{2})}^{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1.10.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.10.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.5.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5

Deixe $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.5.1

Reescreva ${(- 2 x - 4)}^{2}$ como $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5.2

Expanda $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.5.3.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5.3.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5.3.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5.3.2

Some $8 x$ e $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.6.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6.2

Fatore $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6.3

Fatore $4$ de $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6.4

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6.5

Fatore $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6.6

Fatore $4$ de $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6.7

Fatore $4$ de $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.8.1.1

Multiplique $x^{2} + 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.8.2

Combine os termos opostos em $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1.8.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.8.2.2

Some $4 x + 4$ e $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.8.2.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.8.2.4

Some $4 x$ e $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.9

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.10

Reescreva $16 x$ como ${(2^{2})}^{2} x$ .

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Etapa 3.5.7.1.10.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.10.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.5.7.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{2 x + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.5.7.4

Cancele o fator comum de $2 x + 4 + 4 \sqrt{x}$ e $2$ .

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Etapa 3.5.7.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.5.7.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.5.7.4.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 4 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.5.7.4.4

Fatore $2$ de $4 \sqrt{x}$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})}{2}$

Etapa 3.5.7.4.5

Fatore $2$ de $2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})$ .

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2}$

Etapa 3.5.7.4.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.7.4.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Etapa 3.5.7.4.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.4.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x + 2 + 2 \sqrt{x}}{1}$

Etapa 3.5.7.4.6.4

Divida $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ por $1$ .

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

Etapa 3.5.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.5.8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.8.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.5

Deixe $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

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Etapa 3.5.8.1.5.1

Reescreva ${(- 2 x - 4)}^{2}$ como $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.5.2

Expanda $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.8.1.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.8.1.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.8.1.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.5.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.8.1.5.3.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.5.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.5.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.5.3.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.5.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.5.3.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.5.3.2

Some $8 x$ e $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.6

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1.6.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.6.2

Fatore $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.6.3

Fatore $4$ de $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.6.4

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.6.5

Fatore $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.6.6

Fatore $4$ de $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.6.7

Fatore $4$ de $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.8

Simplifique.

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Etapa 3.5.8.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.8.1.8.1.1

Multiplique $x^{2} + 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.8.2

Combine os termos opostos em $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

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Etapa 3.5.8.1.8.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.8.2.2

Some $4 x + 4$ e $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.8.2.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.8.2.4

Some $4 x$ e $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.9

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.10

Reescreva $16 x$ como ${(2^{2})}^{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1.10.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.10.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.5.8.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{2 x + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.5.8.4

Cancele o fator comum de $2 x + 4 - 4 \sqrt{x}$ e $2$ .

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Etapa 3.5.8.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.5.8.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.5.8.4.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{2 (x + 2) - 4 \sqrt{x}}{2}$

Etapa 3.5.8.4.4

Fatore $2$ de $- 4 \sqrt{x}$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})}{2}$

Etapa 3.5.8.4.5

Fatore $2$ de $2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})$ .

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2}$

Etapa 3.5.8.4.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.4.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Etapa 3.5.8.4.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.8.4.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x + 2 - 2 \sqrt{x}}{1}$

Etapa 3.5.8.4.6.4

Divida $x + 2 - 2 \sqrt{x}$ por $1$ .

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Etapa 3.5.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ é o inverso de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ e $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[1, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 5.3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ , então, $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ não é um inverso de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

Não há inverso

Etapa 6