Álgebra Exemplos

$x^{3} + 3 x + 2 x + 6$

Etapa 1

Some $3 x$ e $2 x$ .

$x^{3} + 5 x + 6$

Etapa 2

Fatore $x^{3} + 5 x + 6$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 2.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1 + 6$

Etapa 2.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 + 5 \cdot - 1 + 6$

Etapa 2.3.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 1 - 5 + 6$

Etapa 2.3.4

Subtraia $5$ de $- 1$ .

$- 6 + 6$

Etapa 2.3.5

Some $- 6$ e $6$ .

$0$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 5 x + 6}{x + 1}$

Etapa 2.5

Divida $x^{3} + 5 x + 6$ por $x + 1$ .

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Etapa 2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Etapa 2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$

Etapa 2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$

Etapa 2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$

Etapa 2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$

Etapa 2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Etapa 2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x + 6$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Etapa 2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

Etapa 2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x + 6$

Etapa 2.6

Escreva $x^{3} + 5 x + 6$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (x^{2} - x + 6)$