Álgebra Exemplos

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \leq 3$

Etapa 1

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3 \leq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 2.2

Combine $- 3$ e $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} + \frac{- 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + 4 - 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{x + 4 - 6 x - 3 \cdot - 1}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{x + 4 - 6 x + 3}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 2.4.4

Subtraia $6 x$ de $x$ .

$\frac{- 5 x + 4 + 3}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 2.4.5

Some $4$ e $3$ .

$\frac{- 5 x + 7}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 2.5

Fatore $- 1$ de $- 5 x$ .

$\frac{- (5 x) + 7}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 2.6

Reescreva $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (5 x) - 1 (- 7)}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $- (5 x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (5 x - 7)}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 2.8

Reescreva $- (5 x - 7)$ como $- 1 (5 x - 7)$ .

$\frac{- 1 (5 x - 7)}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 x - 7}{2 x - 1} \leq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$5 x - 7 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Etapa 4

Some $7$ aos dois lados da equação.

$5 x = 7$

Etapa 5

Divida cada termo em $5 x = 7$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $5 x = 7$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Etapa 6

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 7

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \frac{7}{5}$

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = \frac{7}{5}, \frac{1}{2}$

Etapa 10

Encontre o domínio de $- \frac{5 x - 7}{2 x - 1}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{5 x - 7}{2 x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x - 1 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$

$x > \frac{7}{5}$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 4}{2 (0) - 1} \leq 3$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $- 4$ é menor do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{(1) + 4}{2 (1) - 1} \leq 3$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $5$ é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{7}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{7}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) + 4}{2 (4) - 1} \leq 3$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $1.\overline{142857}$ é menor do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ Falso

$x > \frac{7}{5}$ Verdadeiro

$x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ Falso

$x > \frac{7}{5}$ Verdadeiro

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < \frac{1}{2}$ ou $x \geq \frac{7}{5}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < \frac{1}{2} or x \geq \frac{7}{5}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup [\frac{7}{5}, \infty)$

Etapa 15