Álgebra Exemplos

$\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) \geq 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) = 0$

Etapa 2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

${(\frac{1}{5})}^{0} = 5 x - 1$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como $5 x - 1 = {(\frac{1}{5})}^{0}$ .

$5 x - 1 = {(\frac{1}{5})}^{0}$

Etapa 2.2.2

Simplifique ${(\frac{1}{5})}^{0}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{5}$ .

$5 x - 1 = \frac{1^{0}}{5^{0}}$

Etapa 2.2.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$5 x - 1 = \frac{1}{5^{0}}$

Etapa 2.2.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$5 x - 1 = \frac{1}{1}$

Etapa 2.2.2.4

Divida $1$ por $1$ .

$5 x - 1 = 1$

Etapa 2.2.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.2.3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$5 x = 1 + 1$

Etapa 2.2.3.2

Some $1$ e $1$ .

$5 x = 2$

Etapa 2.2.4

Divida cada termo em $5 x = 2$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Divida cada termo em $5 x = 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Etapa 2.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1)$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$5 x - 1 > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$5 x > 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $5 x > 1$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $5 x > 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} > \frac{1}{5}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} > \frac{1}{5}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{1}{5}$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(\frac{1}{5}, \infty)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$

$x > \frac{2}{5}$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{1}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{1}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\log_{\frac{1}{5}} (5 (0) - 1) \geq 0$

Etapa 5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

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Etapa 5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.3$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $0.3$ na desigualdade original.

$\log_{\frac{1}{5}} (5 (0.3) - 1) \geq 0$

Etapa 5.2.3

O lado esquerdo $0.43067655$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{2}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{2}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\log_{\frac{1}{5}} (5 (3) - 1) \geq 0$

Etapa 5.3.3

O lado esquerdo $- 1.63973851$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{1}{5}$ Falso

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ Verdadeiro

$x > \frac{2}{5}$ Falso

$x < \frac{1}{5}$ Falso

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ Verdadeiro

$x > \frac{2}{5}$ Falso

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{1}{5} < x \leq \frac{2}{5}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$\frac{1}{5} < x \leq \frac{2}{5}$

Notação de intervalo:

$(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}]$

Etapa 8