Álgebra Exemplos

$x^{8} - 25 x^{4} + 144 = 0$

Etapa 1

Reescreva $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 25 x^{4} + 144 = 0$

Etapa 2

Deixe $u = x^{4}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{4}$ .

$u^{2} - 25 u + 144 = 0$

Etapa 3

Fatore $u^{2} - 25 u + 144$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $144$ e cuja soma é $- 25$ .

$- 16, - 9$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 16) (u - 9) = 0$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$(x^{4} - 16) (x^{4} - 9) = 0$

Etapa 5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 16) (x^{4} - 9) = 0$

Etapa 6

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) (x^{4} - 9) = 0$

Etapa 7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 4) (x^{4} - 9) = 0$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) (x^{4} - 9) = 0$

Etapa 8.2

Fatore.

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Etapa 8.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) (x^{4} - 9) = 0$

Etapa 8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{4} - 9) = 0$

Etapa 9

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 9) = 0$

Etapa 10

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 11

Fatore.

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Etapa 11.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 3$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 3) (x^{2} - 3)) = 0$

Etapa 11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) = 0$