Álgebra Exemplos

$\frac{3}{x^{2} + x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{7}{2 x^{2} + 6 x + 4}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{7}{2 x^{2} + 6 x + 4}$

Etapa 1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}} = \frac{7}{2 x^{2} + 6 x + 4}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 x^{2} + 6 x + 4}$

Etapa 1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 6 x + 4$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x^{2}) + 6 x + 4}$

Etapa 1.4.2

Fatore $2$ de $6 x$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x^{2}) + 2 (3 x) + 4}$

Etapa 1.4.3

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (3 x)$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x^{2} + 3 x + 2)}$

Etapa 1.5

Fatore.

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Etapa 1.5.1

Fatore $x^{2} + 3 x + 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.5.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $3$ .

$1, 2$

Etapa 1.5.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 ((x + 1) (x + 2))}$

Etapa 1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(x - 1) (x + 2), (x + 1) (x - 1), 2 (x + 1) (x + 2)$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 2.5

O MMC de $1, 1, 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 2.6

O fator de $x - 1$ é o próprio $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $x + 2$ é o próprio $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $x + 1$ é o próprio $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O fator de $x - 1$ é o próprio $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.10

O fator de $x + 1$ é o próprio $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.11

O fator de $x + 2$ é o próprio $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.12

O MMC de $x - 1, x + 2, x + 1, x - 1, x + 1, x + 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x - 1) (x + 2) (x + 1)$

Etapa 2.13

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)}$ por $2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)}$ por $2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{3}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1)) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $2 \frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Combine $2$ e $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1)) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1)) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum de $(x - 1) (x + 2)$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1)) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$6 (x + 1) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x + 6 \cdot 1 - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 x + 6 - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.6

Cancele o fator comum de $(x - 1) (x + 1)$ .

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Etapa 3.2.1.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ para o numerador.

$6 x + 6 + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.6.2

Fatore $(x - 1) (x + 1)$ de $(x + 1) (x - 1)$ .

$6 x + 6 + \frac{- 1}{(x - 1) (x + 1) (1)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.6.3

Fatore $(x - 1) (x + 1)$ de $2 (x - 1) (x + 2) (x + 1)$ .

$6 x + 6 + \frac{- 1}{(x - 1) (x + 1) (1)} ((x - 1) (x + 1) (2 (x + 2))) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.6.4

Cancele o fator comum.

$6 x + 6 + \frac{- 1}{(x - 1) (x + 1) \cdot 1} ((x - 1) (x + 1) (2 (x + 2))) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.6.5

Reescreva a expressão.

$6 x + 6 - (2 (x + 2)) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 x + 6 - 2 (x + 2) = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x + 6 - 2 x - 2 \cdot 2 = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.1.9

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$6 x + 6 - 2 x - 4 = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $2 x$ de $6 x$ .

$4 x + 6 - 4 = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $4$ de $6$ .

$4 x + 2 = \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} (2 (x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x + 2 = 2 \frac{7}{2 (x + 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1

Fatore $2$ de $2 (x + 1) (x + 2)$ .

$4 x + 2 = 2 \frac{7}{2 ((x + 1) (x + 2))} ((x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$4 x + 2 = 2 \frac{7}{2 ((x + 1) (x + 2))} ((x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$4 x + 2 = \frac{7}{(x + 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $(x + 2) (x + 1)$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $(x + 2) (x + 1)$ de $(x + 1) (x + 2)$ .

$4 x + 2 = \frac{7}{(x + 2) (x + 1) (1)} ((x - 1) (x + 2) (x + 1))$

Etapa 3.3.3.2

Fatore $(x + 2) (x + 1)$ de $(x - 1) (x + 2) (x + 1)$ .

$4 x + 2 = \frac{7}{(x + 2) (x + 1) (1)} ((x + 2) (x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.3.3.3

Cancele o fator comum.

$4 x + 2 = \frac{7}{(x + 2) (x + 1) \cdot 1} ((x + 2) (x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.3.3.4

Reescreva a expressão.

$4 x + 2 = 7 (x - 1)$

Etapa 3.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 2 = 7 x + 7 \cdot - 1$

Etapa 3.3.5

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$4 x + 2 = 7 x - 7$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $7 x$ dos dois lados da equação.

$4 x + 2 - 7 x = - 7$

Etapa 4.1.2

Subtraia $7 x$ de $4 x$ .

$- 3 x + 2 = - 7$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 3 x = - 7 - 2$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2$ de $- 7$ .

$- 3 x = - 9$

Etapa 4.3

Divida cada termo em $- 3 x = - 9$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1

Divida cada termo em $- 3 x = - 9$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Etapa 4.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 3}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.1

Divida $- 9$ por $- 3$ .

$x = 3$