Álgebra Exemplos

$\frac{2}{x - 2} + \frac{x}{x + 9} - \frac{x + 20}{x^{2} + 7 x - 18}$

Etapa 1

Fatore $x^{2} + 7 x - 18$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 18$ e cuja soma é $7$ .

$- 2, 9$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2}{x - 2} + \frac{x}{x + 9} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{2}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} + \frac{x}{x + 9} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{x}{x + 9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} + \frac{x}{x + 9} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 2) (x + 9)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{2}{x - 2}$ por $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{(x - 2) (x + 9)} + \frac{x}{x + 9} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x}{x + 9}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{(x - 2) (x + 9)} + \frac{x (x - 2)}{(x + 9) (x - 2)} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 2) (x + 9)$ .

$\frac{2 (x + 9)}{(x + 9) (x - 2)} + \frac{x (x - 2)}{(x + 9) (x - 2)} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (x + 9) + x (x - 2)}{(x + 9) (x - 2)} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Etapa 5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (x + 9) + x (x - 2) - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 9 + x (x - 2) - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{2 x + 18 + x (x - 2) - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 18 + x \cdot x + x \cdot - 2 - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 5.3.4

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x + 18 + x^{2} + x \cdot - 2 - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 5.3.5

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x + 18 + x^{2} - 2 \cdot x - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 5.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 18 + x^{2} - 2 x - x - 1 \cdot 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 5.3.7

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$\frac{2 x + 18 + x^{2} - 2 x - x - 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 5.4

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.4.1

Combine os termos opostos em $2 x + 18 + x^{2} - 2 x - x - 20$ .

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Etapa 5.4.1.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{18 + x^{2} + 0 - x - 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 5.4.1.2

Some $18 + x^{2}$ e $0$ .

$\frac{18 + x^{2} - x - 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 5.4.2

Subtraia $20$ de $18$ .

$\frac{x^{2} - x - 2}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 6

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x + 9) (x - 2)}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 1}{x + 9}$