Álgebra Exemplos

$\sqrt{8 - p} = 2 + \sqrt{2 p + 3}$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{8 - p}}^{2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 - p}$ como ${(8 - p)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - p)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(8 - p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(8 - p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(8 - p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(8 - p)}^{1} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$8 - p = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique ${(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva ${(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$ como $(2 + \sqrt{2 p + 3}) (2 + \sqrt{2 p + 3})$ .

$8 - p = (2 + \sqrt{2 p + 3}) (2 + \sqrt{2 p + 3})$

Etapa 2.3.1.2

Expanda $(2 + \sqrt{2 p + 3}) (2 + \sqrt{2 p + 3})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - p = 2 (2 + \sqrt{2 p + 3}) + \sqrt{2 p + 3} (2 + \sqrt{2 p + 3})$

Etapa 2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - p = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} (2 + \sqrt{2 p + 3})$

Etapa 2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - p = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} \cdot 2 + \sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} \cdot 2 + \sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{2 p + 3}$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \cdot \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$

Etapa 2.3.1.3.1.3

Multiplique $\sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.3.1

Eleve $\sqrt{2 p + 3}$ à potência de $1$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{1} \sqrt{2 p + 3}$

Etapa 2.3.1.3.1.3.2

Eleve $\sqrt{2 p + 3}$ à potência de $1$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{1} {\sqrt{2 p + 3}}^{1}$

Etapa 2.3.1.3.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{1 + 1}$

Etapa 2.3.1.3.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{2}$

Etapa 2.3.1.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{2 p + 3}}^{2}$ como $2 p + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 p + 3}$ como ${(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.3.1.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.1.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.1.3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{1}$

Etapa 2.3.1.3.1.4.5

Simplifique.

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 p + 3$

Etapa 2.3.1.3.2

Some $4$ e $3$ .

$8 - p = 7 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 p$

Etapa 2.3.1.3.3

Some $2 \sqrt{2 p + 3}$ e $2 \sqrt{2 p + 3}$ .

$8 - p = 7 + 4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p$

Etapa 3

Resolva $4 \sqrt{2 p + 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $7 + 4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p = 8 - p$ .

$7 + 4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p = 8 - p$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $4 \sqrt{2 p + 3}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p = 8 - p - 7$

Etapa 3.2.2

Subtraia $2 p$ dos dois lados da equação.

$4 \sqrt{2 p + 3} = 8 - p - 7 - 2 p$

Etapa 3.2.3

Subtraia $7$ de $8$ .

$4 \sqrt{2 p + 3} = - p + 1 - 2 p$

Etapa 3.2.4

Subtraia $2 p$ de $- p$ .

$4 \sqrt{2 p + 3} = - 3 p + 1$

Etapa 4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(4 \sqrt{2 p + 3})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Etapa 5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 p + 3}$ como ${(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique ${(4 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $4 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$16 {({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$16 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$16 {(2 p + 3)}^{1} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4

Simplifique.

$16 (2 p + 3) = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (2 p) + 16 \cdot 3 = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.6.1

Multiplique $2$ por $16$ .

$32 p + 16 \cdot 3 = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.6.2

Multiplique $16$ por $3$ .

$32 p + 48 = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique ${(- 3 p + 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Reescreva ${(- 3 p + 1)}^{2}$ como $(- 3 p + 1) (- 3 p + 1)$ .

$32 p + 48 = (- 3 p + 1) (- 3 p + 1)$

Etapa 5.3.1.2

Expanda $(- 3 p + 1) (- 3 p + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$32 p + 48 = - 3 p (- 3 p + 1) + 1 (- 3 p + 1)$

Etapa 5.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$32 p + 48 = - 3 p (- 3 p) - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p + 1)$

Etapa 5.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$32 p + 48 = - 3 p (- 3 p) - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$32 p + 48 = - 3 \cdot - 3 p \cdot p - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.1.3.1.2

Multiplique $p$ por $p$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.2.1

Mova $p$ .

$32 p + 48 = - 3 \cdot - 3 (p \cdot p) - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.1.3.1.2.2

Multiplique $p$ por $p$ .

$32 p + 48 = - 3 \cdot - 3 p^{2} - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.1.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.1.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.1.3.1.5

Multiplique $- 3 p$ por $1$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p - 3 p + 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.1.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p - 3 p + 1$

Etapa 5.3.1.3.2

Subtraia $3 p$ de $- 3 p$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 6 p + 1$

Etapa 6

Resolva $p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $p$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$9 p^{2} - 6 p + 1 = 32 p + 48$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que contêm $p$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $32 p$ dos dois lados da equação.

$9 p^{2} - 6 p + 1 - 32 p = 48$

Etapa 6.2.2

Subtraia $32 p$ de $- 6 p$ .

$9 p^{2} - 38 p + 1 = 48$

Etapa 6.3

Subtraia $48$ dos dois lados da equação.

$9 p^{2} - 38 p + 1 - 48 = 0$

Etapa 6.4

Subtraia $48$ de $1$ .

$9 p^{2} - 38 p - 47 = 0$

Etapa 6.5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot - 47 = - 423$ e cuja soma é $b = - 38$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Fatore $- 38$ de $- 38 p$ .

$9 p^{2} - 38 p - 47 = 0$

Etapa 6.5.1.2

Reescreva $- 38$ como $9$ mais $- 47$

$9 p^{2} + (9 - 47) p - 47 = 0$

Etapa 6.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 p^{2} + 9 p - 47 p - 47 = 0$

Etapa 6.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(9 p^{2} + 9 p) - 47 p - 47 = 0$

Etapa 6.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$9 p (p + 1) - 47 (p + 1) = 0$

Etapa 6.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $p + 1$ .

$(p + 1) (9 p - 47) = 0$

Etapa 6.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$p + 1 = 0$

$9 p - 47 = 0$

Etapa 6.7

Defina $p + 1$ como igual a $0$ e resolva para $p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Defina $p + 1$ como igual a $0$ .

$p + 1 = 0$

Etapa 6.7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$p = - 1$

Etapa 6.8

Defina $9 p - 47$ como igual a $0$ e resolva para $p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Defina $9 p - 47$ como igual a $0$ .

$9 p - 47 = 0$

Etapa 6.8.2

Resolva $9 p - 47 = 0$ para $p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1

Some $47$ aos dois lados da equação.

$9 p = 47$

Etapa 6.8.2.2

Divida cada termo em $9 p = 47$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.1

Divida cada termo em $9 p = 47$ por $9$ .

$\frac{9 p}{9} = \frac{47}{9}$

Etapa 6.8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 p}{9} = \frac{47}{9}$

Etapa 6.8.2.2.2.1.2

Divida $p$ por $1$ .

$p = \frac{47}{9}$

Etapa 6.9

A solução final são todos os valores que tornam $(p + 1) (9 p - 47) = 0$ verdadeiro.

$p = - 1, \frac{47}{9}$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $\sqrt{8 - p} = 2 + \sqrt{2 p + 3}$ verdadeira.

$p = - 1$