Álgebra Exemplos

$f (x) = \arcsin (\cos (x))$

Etapa 1

Defina o argumento em $\arcsin (\cos (x))$ como maior do que ou igual a $- 1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\cos (x) \geq - 1$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x \geq \arccos (- 1)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x \geq π$

Etapa 2.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 2.4

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$π < x < 3 π$

Etapa 2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.8.1

Teste um valor no intervalo $π < x < 3 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $π < x < 3 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.8.1.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\cos (6) \geq - 1$

Etapa 2.8.1.3

O lado esquerdo $0.96017028$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.2

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$π < x < 3 π$ Verdadeiro

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Defina o argumento em $\arcsin (\cos (x))$ como menor do que ou igual a $1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\cos (x) \leq 1$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x \leq \arccos (1)$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x \leq 0$

Etapa 4.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 4.4

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 4.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.7

Consolide as respostas.

$x = 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < x < 2 π$

Etapa 4.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.9.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 4.9.1.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\cos (3) \leq 1$

Etapa 4.9.1.3

O lado esquerdo $- 0.98999249$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.9.2

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < x < 2 π$ Verdadeiro

Etapa 4.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Etapa 7

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: ${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , para qualquer número inteiro $n$

Intervalo: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Etapa 8