Álgebra Exemplos

$5^{x - 2} = 3 \cdot 4^{x + 1}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (5^{x - 2}) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

Etapa 2

Expanda $\ln (5^{x - 2})$ movendo $x - 2$ para fora do logaritmo.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (3 \cdot 4^{x + 1})$ como $\ln (3) + \ln (4^{x + 1})$ .

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + \ln (4^{x + 1})$

Etapa 4

Expanda $\ln (4^{x + 1})$ movendo $x + 1$ para fora do logaritmo.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $(x - 2) \ln (5)$ .

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Etapa 5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Etapa 5.1.1.2

Simplifique $- 2 \ln (5)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (5) - \ln (5^{2}) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Etapa 5.1.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $\ln (3) + (x + 1) \ln (4)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + 1 \ln (4)$

Etapa 5.2.1.1.2

Multiplique $\ln (4)$ por $1$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + \ln (4)$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (3 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (12)$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (5) - \ln (25) - x \ln (4) - \ln (12) = 0$

Etapa 5.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.4.1

Some $\ln (25)$ aos dois lados da equação.

$x \ln (5) - x \ln (4) - \ln (12) = \ln (25)$

Etapa 5.4.2

Some $\ln (12)$ aos dois lados da equação.

$x \ln (5) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

Etapa 5.5

Fatore $x$ de $x \ln (5) - x \ln (4)$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $x$ de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

Etapa 5.5.2

Fatore $x$ de $- x \ln (4)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Etapa 5.5.3

Fatore $x$ de $x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4))$ .

$x (\ln (5) - 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Etapa 5.6

Reescreva $- 1 \ln (4)$ como $- \ln (4)$ .

$x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Etapa 5.7

Divida cada termo em $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ por $\ln (5) - \ln (4)$ e simplifique.

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Etapa 5.7.1

Divida cada termo em $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ por $\ln (5) - \ln (4)$ .

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Etapa 5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5) - \ln (4)$ .

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Etapa 5.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Etapa 5.7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Etapa 5.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Forma decimal:

$x = 25.56104552 \dots$