Álgebra Exemplos

$4^{5 x + 2} = 0.8 \cdot 5^{5 x + 2}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (4^{5 x + 2}) = \ln (0.8 \cdot 5^{5 x + 2})$

Etapa 2

Expanda $\ln (4^{5 x + 2})$ movendo $5 x + 2$ para fora do logaritmo.

$(5 x + 2) \ln (4) = \ln (0.8 \cdot 5^{5 x + 2})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (0.8 \cdot 5^{5 x + 2})$ como $\ln (0.8) + \ln (5^{5 x + 2})$ .

$(5 x + 2) \ln (4) = \ln (0.8) + \ln (5^{5 x + 2})$

Etapa 4

Expanda $\ln (5^{5 x + 2})$ movendo $5 x + 2$ para fora do logaritmo.

$(5 x + 2) \ln (4) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $(5 x + 2) \ln (4)$ .

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Etapa 5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x \ln (4) + 2 \ln (4) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Etapa 5.1.1.2

Simplifique $5 \ln (4)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (4^{5}) + 2 \ln (4) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Etapa 5.1.1.3

Simplifique $2 \ln (4)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (4^{5}) + \ln (4^{2}) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Etapa 5.1.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.4.1

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$x \ln (1024) + \ln (4^{2}) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Etapa 5.1.1.4.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $\ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + 5 x \ln (5) + 2 \ln (5)$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique $5 \ln (5)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + x \ln (5^{5}) + 2 \ln (5)$

Etapa 5.2.1.1.3

Simplifique $2 \ln (5)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + x \ln (5^{5}) + \ln (5^{2})$

Etapa 5.2.1.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.4.1

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + x \ln (3125) + \ln (5^{2})$

Etapa 5.2.1.1.4.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + x \ln (3125) + \ln (25)$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = x \ln (3125) + \ln (0.8 \cdot 25)$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $0.8$ por $25$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = x \ln (3125) + \ln (20)$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (1024) + \ln (16) - x \ln (3125) - \ln (20) = 0$

Etapa 5.4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{16}{20}) = 0$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de $16$ e $20$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $4$ de $16$ .

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{4 (4)}{20}) = 0$

Etapa 5.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.2.1

Fatore $4$ de $20$ .

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}) = 0$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}) = 0$

Etapa 5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{4}{5}) = 0$

Etapa 5.6

Subtraia $\ln (\frac{4}{5})$ dos dois lados da equação.

$x \ln (1024) - x \ln (3125) = - \ln (\frac{4}{5})$

Etapa 5.7

Fatore $x$ de $x \ln (1024) - x \ln (3125)$ .

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Etapa 5.7.1

Fatore $x$ de $x \ln (1024)$ .

$x (\ln (1024)) - x \ln (3125) = - \ln (\frac{4}{5})$

Etapa 5.7.2

Fatore $x$ de $- x \ln (3125)$ .

$x (\ln (1024)) + x (- 1 \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$

Etapa 5.7.3

Fatore $x$ de $x (\ln (1024)) + x (- 1 \ln (3125))$ .

$x (\ln (1024) - 1 \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$

Etapa 5.8

Reescreva $- 1 \ln (3125)$ como $- \ln (3125)$ .

$x (\ln (1024) - \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$

Etapa 5.9

Divida cada termo em $x (\ln (1024) - \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$ por $\ln (1024) - \ln (3125)$ e simplifique.

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Etapa 5.9.1

Divida cada termo em $x (\ln (1024) - \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$ por $\ln (1024) - \ln (3125)$ .

$\frac{x (\ln (1024) - \ln (3125))}{\ln (1024) - \ln (3125)} = \frac{- \ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Etapa 5.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.9.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (1024) - \ln (3125)$ .

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Etapa 5.9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (1024) - \ln (3125))}{\ln (1024) - \ln (3125)} = \frac{- \ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Etapa 5.9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Etapa 5.9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.9.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{\ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Forma decimal:

$x = - 0.2$