Álgebra Exemplos

${(\frac{16}{25})}^{x^{2} + x} = 1$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{16}{25})}^{x^{2} + x}) = \ln (1)$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Expanda $\ln ({(\frac{16}{25})}^{x^{2} + x})$ movendo $x^{2} + x$ para fora do logaritmo.

$(x^{2} + x) \ln (\frac{16}{25}) = \ln (1)$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (\frac{16}{25})$ como $\ln (16) - \ln (25)$ .

$(x^{2} + x) (\ln (16) - \ln (25)) = \ln (1)$

Etapa 2.3

Reescreva $\ln (25)$ como $\ln (5^{2})$ .

$(x^{2} + x) (\ln (16) - \ln (5^{2})) = \ln (1)$

Etapa 2.4

Expanda $\ln (5^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$(x^{2} + x) (\ln (16) - (2 \ln (5))) = \ln (1)$

Etapa 2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + x) (\ln (16) - 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $(x^{2} + x) (\ln (16) - 2 \ln (5))$ .

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Etapa 3.1.1

Expanda $(x^{2} + x) (\ln (16) - 2 \ln (5))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (\ln (16) - 2 \ln (5)) + x (\ln (16) - 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Etapa 3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \ln (16) + x^{2} (- 2 \ln (5)) + x (\ln (16) - 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Etapa 3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \ln (16) + x^{2} (- 2 \ln (5)) + x \ln (16) + x (- 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Etapa 3.1.2

Reordene os fatores em $x^{2} \ln (16) + x^{2} (- 2 \ln (5)) + x \ln (16) + x (- 2 \ln (5))$ .

$x^{2} \ln (16) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = \ln (1)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x^{2} \ln (16) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = 0$

Etapa 5

Fatore $x$ de $x^{2} \ln (16) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5)$ .

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Etapa 5.1

Fatore $x$ de $x^{2} \ln (16)$ .

$x (x \ln (16)) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x$ de $- 2 x^{2} \ln (5)$ .

$x (x \ln (16)) + x (- 2 x \ln (5)) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = 0$

Etapa 5.3

Fatore $x$ de $x \ln (16)$ .

$x (x (\ln (16))) + x (- 2 x \ln (5)) + x (\ln (16)) - 2 x \ln (5) = 0$

Etapa 5.4

Fatore $x$ de $- 2 x \ln (5)$ .

$x (x (\ln (16))) + x (- 2 x \ln (5)) + x (\ln (16)) + x (- 2 \ln (5)) = 0$

Etapa 5.5

Fatore $x$ de $x (x \ln (16)) + x (- 2 x \ln (5))$ .

$x (x (\ln (16)) - 2 x \ln (5)) + x (\ln (16)) + x (- 2 \ln (5)) = 0$

Etapa 5.6

Fatore $x$ de $x (x (\ln (16)) - 2 x \ln (5)) + x (\ln (16))$ .

$x (x \ln (16) - 2 x \ln (5) + \ln (16)) + x (- 2 \ln (5)) = 0$

Etapa 5.7

Fatore $x$ de $x (x \ln (16) - 2 x \ln (5) + \ln (16)) + x (- 2 \ln (5))$ .

$x (x \ln (16) - 2 x \ln (5) + \ln (16) - 2 \ln (5)) = 0$

Etapa 6

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x (\ln (16) - 2 \ln (5)) + 1 (\ln (16) - 2 \ln (5))) = 0$

Etapa 7

Fatore.

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Etapa 7.1

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $\ln (16) - 2 \ln (5)$ .

$x ((\ln (16) - 2 \ln (5)) (x + 1)) = 0$

Etapa 7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (\ln (16) - 2 \ln (5)) (x + 1) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 9

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 10

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $x (\ln (16) - 2 \ln (5)) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$