Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} - 16}{81 - x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 10 x + 24} \div \frac{x - 4}{x^{2} + 15 x + 54}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{x^{2} - 16}{81 - x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 10 x + 24} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{81 - x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 10 x + 24} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{81 - x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 10 x + 24} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{9^{2} - x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 10 x + 24} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

Etapa 3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 9$ e $b = x$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(9 + x) (9 - x)} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 10 x + 24} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

Etapa 4

Fatore $x^{2} + 10 x + 24$ usando o método AC.

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Etapa 4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $24$ e cuja soma é $10$ .

$4, 6$

Etapa 4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(9 + x) (9 - x)} \cdot \frac{2 x}{(x + 4) (x + 6)} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(9 + x) (9 - x)} \cdot \frac{2 x}{(x + 4) (x + 6)} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

Etapa 5.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 4}{(9 + x) (9 - x)} \cdot \frac{2 x}{x + 6} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{x - 4}{(9 + x) (9 - x)}$ por $\frac{2 x}{x + 6}$ .

$\frac{(x - 4) (2 x)}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)} \cdot \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 4) (2 x)}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)} \cdot \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)} (x^{2} + 15 x + 54)$

Etapa 5.4

Multiplique $\frac{2 x}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)}$ por $x^{2} + 15 x + 54$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 15 x + 54)}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)}$

Etapa 6

Fatore $x^{2} + 15 x + 54$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $54$ e cuja soma é $15$ .

$6, 9$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2 x ((x + 6) (x + 9))}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)}$

$\frac{2 x (x + 6) (x + 9)}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x (x + 6) (x + 9)}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x (x + 9)}{(9 + x) (9 - x)}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $x + 9$ e $9 + x$ .

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Etapa 8.1

Reordene os termos.

$\frac{2 x (x + 9)}{(x + 9) (9 - x)}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x (x + 9)}{(x + 9) (9 - x)}$

Etapa 8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x}{9 - x}$