Álgebra Exemplos

$\frac{3}{2 x - 1} > \frac{- 5}{x}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{- 5}{x}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{3}{2 x - 1} - \frac{- 5}{x} > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{3}{2 x - 1} - \frac{- 5}{x}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{2 x - 1} - - \frac{5}{x} > 0$

Etapa 2.1.2

Multiplique $- - \frac{5}{x}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + 1 \frac{5}{x} > 0$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $\frac{5}{x}$ por $1$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + \frac{5}{x} > 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{3}{2 x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} > 0$

Etapa 2.3

Para escrever $\frac{5}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 x - 1) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{3}{2 x - 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x}{(2 x - 1) x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{5}{x}$ por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3 x}{(2 x - 1) x} + \frac{5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores de $(2 x - 1) x$ .

$\frac{3 x}{x (2 x - 1)} + \frac{5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x + 5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 5 (2 x) + 5 \cdot - 1}{x (2 x - 1)} > 0$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{3 x + 10 x + 5 \cdot - 1}{x (2 x - 1)} > 0$

Etapa 2.6.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 10 x - 5}{x (2 x - 1)} > 0$

Etapa 2.6.4

Some $3 x$ e $10 x$ .

$\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$13 x - 5 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Etapa 4

Some $5$ aos dois lados da equação.

$13 x = 5$

Etapa 5

Divida cada termo em $13 x = 5$ por $13$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $13 x = 5$ por $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{5}{13}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $13$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{13 x}{13} = \frac{5}{13}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{13}$

Etapa 6

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 7

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = \frac{5}{13}$

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 0, \frac{5}{13}, \frac{1}{2}$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x (2 x - 1) = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Etapa 10.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 10.2.3

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.2.3.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 10.2.3.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 10.2.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (2 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{5}{13}$

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{3}{2 (- 2) - 1} > \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $- 0.6$ não é maior do que o lado direito $2.5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{5}{13}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{5}{13}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.19$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $0.19$ na desigualdade original.

$\frac{3}{2 (0.19) - 1} > \frac{- 5}{0.19}$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $- 4.83870967$ é maior do que o lado direito $- 26.31578947$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.44$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $0.44$ na desigualdade original.

$\frac{3}{2 (0.44) - 1} > \frac{- 5}{0.44}$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 25$ não é maior do que o lado direito $- 11.\overline{36}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{3}{2 (3) - 1} > \frac{- 5}{3}$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $0.6$ é maior do que o lado direito $- 1.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{5}{13}$ Verdadeiro

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{5}{13}$ Verdadeiro

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Verdadeiro

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < \frac{5}{13}$ ou $x > \frac{1}{2}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$0 < x < \frac{5}{13} or x > \frac{1}{2}$

Notação de intervalo:

$(0, \frac{5}{13}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 15