Álgebra Exemplos

$y = {(2 x - 1)}^{2} - 2$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = {(2 y - 1)}^{2} - 2$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como ${(2 y - 1)}^{2} - 2 = x$ .

${(2 y - 1)}^{2} - 2 = x$

Etapa 2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

${(2 y - 1)}^{2} = x + 2$

Etapa 2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$2 y - 1 = \pm \sqrt{x + 2}$

Etapa 2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$2 y - 1 = \sqrt{x + 2}$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 y = \sqrt{x + 2} + 1$

Etapa 2.4.3

Divida cada termo em $2 y = \sqrt{x + 2} + 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.3.1

Divida cada termo em $2 y = \sqrt{x + 2} + 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.4

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$2 y - 1 = - \sqrt{x + 2}$

Etapa 2.4.5

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 y = - \sqrt{x + 2} + 1$

Etapa 2.4.6

Divida cada termo em $2 y = - \sqrt{x + 2} + 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.6.1

Divida cada termo em $2 y = - \sqrt{x + 2} + 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ é o inverso de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ .

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Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ .

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Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 2, \infty)$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 2}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 2 \geq 0$

Etapa 4.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 2$

Etapa 4.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 2, \infty)$

Etapa 4.4

Encontre o domínio de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ .

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Etapa 4.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ é o intervalo de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ é o domínio de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ é o inverso de $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 5