Álgebra Exemplos

$x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60$

Etapa 1

Fatore $x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Etapa 1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{4} - 6 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Etapa 1.3.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 - 6 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Etapa 1.3.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$16 - 6 \cdot 8 - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 6$ por $8$ .

$16 - 48 - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Etapa 1.3.5

Subtraia $48$ de $16$ .

$- 32 - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Etapa 1.3.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 32 - 3 \cdot 4 + 52 \cdot 2 - 60$

Etapa 1.3.7

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$- 32 - 12 + 52 \cdot 2 - 60$

Etapa 1.3.8

Subtraia $12$ de $- 32$ .

$- 44 + 52 \cdot 2 - 60$

Etapa 1.3.9

Multiplique $52$ por $2$ .

$- 44 + 104 - 60$

Etapa 1.3.10

Some $- 44$ e $104$ .

$60 - 60$

Etapa 1.3.11

Subtraia $60$ de $60$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60}{x - 2}$

Etapa 1.5

Divida $x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60$ por $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{3}$
	$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			+	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} - 2 x^{3}$ .

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{3} + 8 x^{2}$ .

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 11 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 11 x^{2} + 22 x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

$30 x$

Etapa 1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

$30 x$

$60$

Etapa 1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $30 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$30$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

$30 x$

$60$

Etapa 1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	+	$52 x$
							+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
									+	$30 x$	-	$60$
									+	$30 x$	-	$60$

Etapa 1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $30 x - 60$ .

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	+	$52 x$
							+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
									+	$30 x$	-	$60$
									-	$30 x$	+	$60$

Etapa 1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	+	$52 x$
							+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
									+	$30 x$	-	$60$
									-	$30 x$	+	$60$
												$0$

Etapa 1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

Etapa 1.6

Escreva $x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) (x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30)$

Etapa 2

Fatore $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Etapa 2.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Etapa 2.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Etapa 2.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

Etapa 2.3.5

Subtraia $16$ de $8$ .

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 11$ por $2$ .

$- 8 - 22 + 30$

Etapa 2.3.7

Subtraia $22$ de $- 8$ .

$- 30 + 30$

Etapa 2.3.8

Some $- 30$ e $30$ .

$0$

Etapa 2.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

Etapa 2.5

Divida $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ por $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$30$

Etapa 2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$

Etapa 2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Etapa 2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Etapa 2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$

Etapa 2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Etapa 2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 15 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Etapa 2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Etapa 2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 15 x + 30$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Etapa 2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$
										$0$

Etapa 2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 2 x - 15$

Etapa 2.6

Escreva $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 15))$

Etapa 3

Fatore $x^{2} - 2 x - 15$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 15$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 15$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 5, 3$

Etapa 3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) ((x - 2) ((x - 5) (x + 3)))$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) ((x - 2) (x - 5) (x + 3))$

Etapa 3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) (x - 2) (x - 5) (x + 3)$

Etapa 4

Combine como fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

${(x - 2)}^{1} (x - 2) (x - 5) (x + 3)$

Etapa 4.2

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} (x - 5) (x + 3)$

Etapa 4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 2)}^{1 + 1} (x - 5) (x + 3)$

Etapa 4.4

Some $1$ e $1$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 5) (x + 3)$