Álgebra Exemplos

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$

Etapa 1

Multiplique $\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$

Etapa 2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}$

Etapa 2.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Expanda $(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

Etapa 3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Etapa 3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- \sqrt{5}$ por $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Etapa 3.2.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $\sqrt{5}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.4.1

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}$

Etapa 3.2.1.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}$

Etapa 3.2.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}$

Etapa 3.2.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}$

Etapa 3.2.1.5

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}$

Etapa 3.2.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}$

Etapa 3.2.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

Etapa 3.2.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

Etapa 3.2.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}$

Etapa 3.2.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

Etapa 3.2.3

Subtraia $\sqrt{5}$ de $0$ .

$\frac{- \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

Etapa 3.2.4

Some $- \sqrt{5}$ e $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{20}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $4$ e $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 (\sqrt{5})}{20}$

Etapa 4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Forma decimal:

$0.44721359 \dots$