Álgebra Exemplos

$3 \log_{3} (X) = - \log_{3} (27)$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique $3 \log_{3} (X)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (X^{3}) = - \log_{3} (27)$

Etapa 1.2

Simplifique $- \log_{3} (27)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (X^{3}) = \log_{3} (27^{- 1})$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$X^{3} = 27^{- 1}$

Etapa 3

Resolva $X$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $27^{- 1}$ dos dois lados da equação.

$X^{3} - 27^{- 1} = 0$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$X^{3} - \frac{1}{27} = 0$

Etapa 3.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva $\frac{1}{27}$ como ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$X^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Etapa 3.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = X$ e $b = \frac{1}{3}$ .

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + X (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Etapa 3.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Combine $X$ e $\frac{1}{3}$ .

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Etapa 3.3.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Etapa 3.3.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Etapa 3.3.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$X - \frac{1}{3} = 0$

$X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Etapa 3.5

Defina $X - \frac{1}{3}$ como igual a $0$ e resolva para $X$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $X - \frac{1}{3}$ como igual a $0$ .

$X - \frac{1}{3} = 0$

Etapa 3.5.2

Some $\frac{1}{3}$ aos dois lados da equação.

$X = \frac{1}{3}$

Etapa 3.6

Defina $X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9}$ como igual a $0$ e resolva para $X$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina $X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9}$ como igual a $0$ .

$X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9} = 0$ para $X$ .

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Etapa 3.6.2.1

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $9$ . Depois, simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 X^{2} + 9 (\frac{X}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 3.6.2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.2.1.1

Fatore $3$ de $9$ .

$9 X^{2} + 3 (3) (\frac{X}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 3.6.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$9 X^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{X}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 3.6.2.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$9 X^{2} + 3 X + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 3.6.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$9 X^{2} + 3 X + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 3.6.2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$9 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

Etapa 3.6.2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.6.2.3

Substitua os valores $a = 9$ , $b = 3$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $X$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.6.2.4

Simplifique.

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Etapa 3.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.4.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.6.2.4.1.3

Subtraia $36$ de $9$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.6.2.4.1.4

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$X = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.6.2.4.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.4.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$X = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.6.2.4.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$X = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$X = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.6.2.4.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$X = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$X = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Etapa 3.6.2.4.3

Simplifique $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$X = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Etapa 3.6.2.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$X = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ verdadeiro.

$X = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$