Álgebra Exemplos

$f (x) = \arcsin (\sin (x))$

Etapa 1

Defina o argumento em $\arcsin (\sin (x))$ como maior do que ou igual a $- 1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sin (x) \geq - 1$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x \geq \arcsin (- 1)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x \geq - \frac{π}{2}$

Etapa 2.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 2.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 2.4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 2.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 2.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.6.3

Combine frações.

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Etapa 2.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 2.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.8

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Etapa 2.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.10.1

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 2.10.1.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\sin (8) \geq - 1$

Etapa 2.10.1.3

O lado esquerdo $0.98935824$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.10.2

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Verdadeiro

Etapa 2.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Defina o argumento em $\arcsin (\sin (x))$ como menor do que ou igual a $1$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sin (x) \leq 1$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x \leq \arcsin (1)$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2}$

Etapa 4.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.4

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.4.2

Combine frações.

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Etapa 4.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 4.4.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 4.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Etapa 4.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.8.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 4.8.1.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\sin (5) \leq 1$

Etapa 4.8.1.3

O lado esquerdo $- 0.95892427$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.8.2

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Verdadeiro

Etapa 4.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Etapa 7

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: ${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ , para qualquer número inteiro $n$

Intervalo: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Etapa 8