Álgebra Exemplos

$f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ como uma equação.

$y = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt[3]{5^{y}} + 9$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$ .

$\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$\sqrt[3]{5^{y}} = x - 9$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{5^{y}}}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{5^{y}}$ como $5^{\frac{y}{3}}$ .

${(5^{\frac{y}{3}})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique os expoentes em ${(5^{\frac{y}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

Etapa 3.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$5^{y} = {(x - 9)}^{3}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(x - 9)}^{3}$ .

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Etapa 3.4.3.1.1

Use o teorema binomial.

$5^{y} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 9 + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

Etapa 3.4.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.3.1.2.1

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

Etapa 3.4.3.1.2.2

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x \cdot 81 + {(- 9)}^{3}$

Etapa 3.4.3.1.2.3

Multiplique $81$ por $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x + {(- 9)}^{3}$

Etapa 3.4.3.1.2.4

Eleve $- 9$ à potência de $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{y}) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

Etapa 3.5.2

Expanda $\ln (5^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ por $\ln (5)$ e simplifique.

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Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) - 729)}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 243 \cdot 9 - 729)}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.1.2

Multiplique $243$ por $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 2187 - 729)}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.2

Subtraia $729$ de $2187$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 1458)}{\ln (5)}$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}}} + 9$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\log_{5} (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}} + 9$

Etapa 5.3.3.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729} + 9$

Etapa 5.3.3.3

Associe cada termo aos termos da fórmula do teorema binomial.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (9 x^{2}) + 3 \cdot (9^{2} x) - 1 \cdot 9^{3}} + 9$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $x^{3} - 3 \cdot 9 x^{2} + 3 \cdot 9^{2} x - 1 \cdot 9^{3}$ usando o teorema binomial.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{{(x - 9)}^{3}} + 9$

Etapa 5.3.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x - 9 + 9$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $x - 9 + 9$ .

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Etapa 5.3.4.1

Some $- 9$ e $9$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$