Álgebra Exemplos

$\sin (2 x) = 1$ , $0 \leq x < 2 π$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (1)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 3

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.1.2

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.1.4

Subtraia $π$ de $π \cdot 2$ .

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Etapa 5.1.4.1

Reordene $π$ e $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 5.1.4.2

Subtraia $π$ de $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 6

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 6.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 7

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Encontre os valores de $n$ que produzem um valor dentro do intervalo $[0, 2 π)$ .

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Etapa 8.1

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

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Etapa 8.1.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{π}{4} + π (0)$

Etapa 8.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{π}{4} + 0$

Etapa 8.1.2.2

Some $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$\frac{π}{4}$

Etapa 8.1.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 8.2

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{π}{4} + π (1)$

Etapa 8.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{π}{4} + π$

Etapa 8.2.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 8.2.2.3

Combine frações.

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Etapa 8.2.2.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 4}{4}$

Etapa 8.2.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π + π \cdot 4}{4}$

Etapa 8.2.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.2.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π + 4 \cdot π}{4}$

Etapa 8.2.2.4.2

Some $π$ e $4 π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Etapa 8.2.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$