Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} + 12 x + 27}{42 x - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \div \frac{x^{2} + 8 x + 15}{100 - 4 x^{2}}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{x^{2} + 12 x + 27}{42 x - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + 12 x + 27$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $27$ e cuja soma é $12$ .

$3, 9$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{42 x - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 3

Fatore $6 x$ de $42 x - 6 x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Fatore $6 x$ de $42 x$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7) - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 3.2

Fatore $6 x$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7) + 6 x (- x)} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 3.3

Fatore $6 x$ de $6 x (7) + 6 x (- x)$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{7^{2} - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 7$ e $b = x$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 5

Fatore $x^{2} + 16 x + 63$ usando o método AC.

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Etapa 5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $63$ e cuja soma é $16$ .

$7, 9$

Etapa 5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 7) (x + 9)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $x + 9$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $x + 9$ de $(x + 3) (x + 9)$ .

$\frac{(x + 9) (x + 3)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 7) (x + 9)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x + 9$ de $(x + 7) (x + 9)$ .

$\frac{(x + 9) (x + 3)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 9) (x + 7)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 9) (x + 3)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 9) (x + 7)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 3}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $7 - x$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $7 - x$ de $6 x (7 - x)$ .

$\frac{x + 3}{(7 - x) (6 x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.2.2

Fatore $7 - x$ de $(7 + x) (7 - x)$ .

$\frac{x + 3}{(7 - x) (6 x)} \cdot \frac{(7 - x) (7 + x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x + 3}{(7 - x) (6 x)} \cdot \frac{(7 - x) (7 + x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{7 + x}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{x + 3}{6 x}$ por $\frac{7 + x}{x + 7}$ .

$\frac{(x + 3) (7 + x)}{6 x (x + 7)} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $7 + x$ e $x + 7$ .

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Etapa 6.4.1

Reordene os termos.

$\frac{(x + 3) (x + 7)}{6 x (x + 7)} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 3) (x + 7)}{6 x (x + 7)} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Fatore $4$ de $100 - 4 x^{2}$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $4$ de $100$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (25) - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 7.1.2

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (25) + 4 (- x^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 7.1.3

Fatore $4$ de $4 (25) + 4 (- x^{2})$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (25 - x^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 7.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5^{2} - x^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 7.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = x$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 8

Fatore $x^{2} + 8 x + 15$ usando o método AC.

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Etapa 8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $15$ e cuja soma é $8$ .

$3, 5$

Etapa 8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 9

Simplifique os termos.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 9.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$\frac{1}{2 (3 x)} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Etapa 9.2.2

Fatore $2$ de $4 (5 + x) (5 - x)$ .

$\frac{1}{2 (3 x)} \cdot \frac{2 (2 (5 + x) (5 - x))}{x + 5}$

Etapa 9.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 (3 x)} \cdot \frac{2 (2 (5 + x) (5 - x))}{x + 5}$

Etapa 9.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3 x} \cdot \frac{2 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Etapa 9.3

Multiplique $\frac{1}{3 x}$ por $\frac{2 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$ .

$\frac{2 (5 + x) (5 - x)}{3 x (x + 5)}$

Etapa 9.4

Cancele o fator comum de $5 + x$ e $x + 5$ .

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Etapa 9.4.1

Reordene os termos.

$\frac{2 (x + 5) (5 - x)}{3 x (x + 5)}$

Etapa 9.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + 5) (5 - x)}{3 x (x + 5)}$

Etapa 9.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (5 - x)}{3 x}$