Álgebra Exemplos

$\frac{x + 9}{x^{2} - 5 x + 6} \leq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 9 = 0$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Etapa 2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x = - 9$

Etapa 3

Fatore $x^{2} - 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 3, - 2$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, 2$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 9$

$x = 3, 2$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = - 9, 3, 2$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{x + 9}{x^{2} - 5 x + 6}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{x + 9}{x^{2} - 5 x + 6}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.2.1

Fatore $x^{2} - 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 10.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 3, - 2$

Etapa 10.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Etapa 10.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 10.2.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.2.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 10.2.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 10.2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 10.2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 10.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, 2$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 9$

$- 9 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 12$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 12$ na desigualdade original.

$\frac{(- 12) + 9}{{(- 12)}^{2} - 5 \cdot - 12 + 6} \leq 0$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $- 0.0\overline{142857}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 9 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 9 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 9}{{(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6} \leq 0$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $1.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2.5$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $2.5$ na desigualdade original.

$\frac{(2.5) + 9}{{(2.5)}^{2} - 5 \cdot 2.5 + 6} \leq 0$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 46$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{(6) + 9}{{(6)}^{2} - 5 \cdot 6 + 6} \leq 0$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $1.25$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 9$ Verdadeiro

$- 9 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 9$ Verdadeiro

$- 9 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 9$ ou $2 < x < 3$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - 9 or 2 < x < 3$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 9] \cup (2, 3)$

Etapa 15