Álgebra Exemplos

$\frac{m - 3 n}{m^{3} - n^{3}} - \frac{2 n}{n^{3} - m^{3}}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = m$ e $b = n$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{n^{3} - m^{3}}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = n$ e $b = m$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(n - m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.1

Fatore $- 1$ de $n$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(- 1 (- n) - m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Etapa 2.2

Fatore $- 1$ de $- m$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(- 1 (- n) - (m)) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Etapa 2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- n) - (m)$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{- 1 (- n + m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Etapa 2.4

Reordene.

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Etapa 2.4.1

Reordene os termos.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 4.2

Reordene os fatores de $(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1$ .

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{m \cdot - 1 - 3 n \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $m$ .

$\frac{- 1 \cdot m - 3 n \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 1 \cdot m + 3 n - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 6.4

Reescreva $- 1 m$ como $- m$ .

$\frac{- m + 3 n - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 6.5

Subtraia $2 n$ de $3 n$ .

$\frac{- m + n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $- m + n$ e $m - n$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $- 1$ de $- m$ .

$\frac{- (m) + n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 7.1.2

Fatore $- 1$ de $n$ .

$\frac{- (m) - 1 (- n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 7.1.3

Fatore $- 1$ de $- (m) - 1 (- n)$ .

$\frac{- (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 7.1.4

Reescreva $- (m - n)$ como $- 1 (m - n)$ .

$\frac{- 1 (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 7.1.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 7.1.6

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{- (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Etapa 7.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{1}{m^{2} + n^{2} + m n}$