Álgebra Exemplos

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) - 1 = 0$

Etapa 1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Etapa 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm \sqrt{1}$

Etapa 3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm 1$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Etapa 4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1, - 1$

Etapa 5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

Etapa 6

Resolva $x$ em $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (1)$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 0$

Etapa 6.3

Subtraia $\frac{π}{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

Etapa 6.4

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Etapa 6.5

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Etapa 6.5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

Etapa 6.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Simplifique $2 (- \frac{π}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Multiplique $2 (- \frac{π}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x = - 2 \frac{π}{3}$

Etapa 6.5.2.1.1.2

Combine $- 2$ e $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{- 2 π}{3}$

Etapa 6.5.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - 0$

Etapa 6.7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π$

Etapa 6.7.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1

Subtraia $\frac{π}{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 6.7.2.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.7.2.3

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 6.7.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 6.7.2.5.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.7.3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.7.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.7.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.7.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.4.2.1

Multiplique $2 \frac{5 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.4.2.1.1

Combine $2$ e $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (5 π)}{3}$

Etapa 6.7.4.2.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$x = \frac{10 π}{3}$

Etapa 6.8

Encontre o período de $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.8.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 6.8.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.8.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 6.8.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 6.9

Some $4 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.1

Some $4 π$ com $- \frac{2 π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

Etapa 6.9.2

Para escrever $4 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.9.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.3.1

Combine $4 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 6.9.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.4.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

Etapa 6.9.4.2

Subtraia $2 π$ de $12 π$ .

$\frac{10 π}{3}$

Etapa 6.9.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{10 π}{3}$

Etapa 6.10

O período da função $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Resolva $x$ em $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (- 1)$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

Etapa 7.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Subtraia $\frac{π}{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Etapa 7.3.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.3.3

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 7.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 7.3.5.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.4

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.5

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Multiplique $2 \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1.1

Combine $2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Etapa 7.5.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.6

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - π$

Etapa 7.7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

Etapa 7.7.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.2.1

Subtraia $\frac{π}{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Etapa 7.7.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.7.2.3

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 7.7.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.2.5.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 7.7.2.5.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.7.3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.7.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.7.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.7.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.4.2.1

Multiplique $2 \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.4.2.1.1

Combine $2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Etapa 7.7.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.8

Encontre o período de $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.8.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 7.8.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.8.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 7.8.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 7.9

O período da função $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$