Álgebra Exemplos

$\cos^{2} (x) = \sin (x)$

Etapa 1

Subtraia $\sin (x)$ dos dois lados da equação.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 2

Substitua $\cos^{2} (x)$ por $1 - \sin^{2} (x)$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$1 - {(u)}^{2} - (u) = 0$

Etapa 3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.4.1.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.4.1.3

Some $1$ e $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Etapa 3.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 3.6

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 3.7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 3.8

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

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Etapa 3.8.1

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 3.9

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Etapa 3.9.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Etapa 3.9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.9.2.1

Avalie $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$x = 0.66623943$

Etapa 3.9.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$

Etapa 3.9.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.9.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265 - 2 π$

Etapa 3.9.4.2

O ângulo resultante de $2.47535322$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$x = 2.47535322$

Etapa 3.9.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.9.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.10

Liste todas as soluções.

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$